2002-苏豫粤卷-09 单-反比例型函数的图象与性质

本题导读

本题考查基本初等函数的单调性及图象变换，重点在于掌握反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的基本图象特征，以及平移和对称变换对函数单调性的影响。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 函数 $y=1-\frac{1}{x-1}$().

A. 在 $(-1,+\infty )$ 内单调递增　　　　　　B. 在 $(-1,+\infty )$ 内单调递减

C. 在 $(1,+\infty )$ 内单调递增　　　　　　D. 在 $(1,+\infty )$ 内单调递减

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析定义域与间断点：由于分母不能为零，函数的分断点为 $x=1$，也就是说该函数的定义域为 $(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$。这可以直接排除包含 $x=1$ 的区间 $(-1,+\infty )$。
2. 运用图象变换或复合单调性：

• 从图象角度看：基本函数 $y=\frac{1}{x}$ 在各自分支上单调递减，经过镜像对称与平移后观察其单调性。
• 从代数角度看：在区间 $(1,+\infty )$ 内，随着 $x$ 的增大，分母 $x-1$ 增大，分式 $\frac{1}{x-1}$ 减小，从而 $-\frac{1}{x-1}$ 增大。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解法一（图象变换法）： 基本反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上是单调递减的。

1. 将其关于 $x$ 轴作对称变换，得到 $y=-\frac{1}{x}$，此时在 $(0,+\infty )$ 上函数变为单调递增。
2. 将图象向右平移 $1$ 个单位，得到 $y=-\frac{1}{x-1}$，其单调递增区间相应右移变为 $(1,+\infty )$。
3. 将图象向上平移 $1$ 个单位，得到 $y=1-\frac{1}{x-1}$，平移不改变函数的单调性。 因此，函数 $y=1-\frac{1}{x-1}$ 在 $(1,+\infty )$ 内单调递增。

解法二（代数判断法）： 函数的定义域为 $\{x\mid x\ne 1\}$。 因为区间 $(-1,+\infty )$ 包含了 $x=1$（此时函数无意义），所以单调区间不可能为 $(-1,+\infty )$，排除 A、B。 设 $1<x_1<x_2$，则有： $0<x_1-1<x_2-1$ 由于倒数函数在正实数集上单调递减，可得： $\frac{1}{x_1-1}>\frac{1}{x_2-1}$ 两边同乘以 $-1$，不等号改变方向： $-\frac{1}{x_1-1}<-\frac{1}{x_2-1}$ 两边同时加上 $1$，得： $1-\frac{1}{x_1-1}<1-\frac{1}{x_2-1}⟹f(x_1)<f(x_2)$ 根据单调递增的定义，函数在 $(1,+\infty )$ 内单调递增。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数单调性的定义、反比例函数的单调性特征及图象平移、对称规律。
2. 核心方法：通过“基本函数 $\to$ 伸缩对称 $\to$ 平移变换”的三步法快速锁定新函数的几何形态。
3. 避坑指南：

• 易混淆 $y=\frac{k}{x}$ 当 $k<0$ 时的单调性，误记为减函数；

• 必须注意函数的定义域，由于 $x=1$ 处无意义，任何跨越 $x=1$ 的连续区间（如 A、B 选项中的 $(-1,+\infty )$）都不可能作为该函数的单调区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中对“反比例函数图象及其平移”性质的考查，是一道通过函数解析式辨识其单调性的常规基础题。
2. 结论推广：对于形如 $y=\frac{cx+d}{ax+b}$（其中 $ad-bc\ne 0$）的分子分母一次型函数（也称双曲分式函数），均可以通过分离常数法化为 $y=\frac{k}{x-x_0}+y_0$ 的形式。其在各自分支上的单调性完全由 $k$ 的正负决定：当 $k>0$ 时，在各区间内单调递减；当 $k<0$ 时，在各区间内单调递增。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1958-北京-08 解-二次函数符号区间与图象
• 1958-沪闽-04 解-待定系数定二次函数四问
• 1958-河北-02 解-正弦型函数周期与图象