2002-苏豫粤卷-07 单-奇函数的定义与性质

本题导读

本题考查函数奇偶性的定义以及充要条件的逻辑推理，重点在于利用奇函数的核心代数特征 $f(-x)=-f(x)$ 或 $f(0)=0$ 建立参数 $a,b$ 的方程，从而确定正确选项。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 函数 $f(x)=x|x+a|+b$ 是奇函数的充要条件是().

A. $ab=0$　　　B. $a+b=0$　　　C. $a=b$　　　D. $a^2+b^2=0$

🔍【思路分析】

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1. 必要性探求：若 $f(x)$ 为奇函数，则其定义域内必然满足 $f(-x)=-f(x)$。由于定义域为 $\mathbf{R}$，利用特殊值 $f(0)=0$ 和 $f(-1)=-f(1)$ 可以快速导出参数 $a,b$ 必须满足的条件。
2. 充分性验证：将求得的条件反代回原函数，验证此时的函数是否在全定义域上严格满足奇函数的定义。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 必要性（由因导果）： 假设 $f(x)=x|x+a|+b$ 是奇函数。 因为定义域为 $\mathbf{R}$，根据奇函数的性质，必有 $f(0)=0$。 代入 $x=0$ 得： $f(0)=0\cdot |0+a|+b=0⟹b=0$

此时函数简化为 $f(x)=x|x+a|$。 又根据 $f(-1)=-f(1)$，代入得： $-1\cdot |-1+a|=-\left(1\cdot |1+a|\right)⟹|a-1|=|a+1|$ 两边平方得： $(a-1{)}^2=(a+1{)}^2⟹a^2-2a+1=a^2+2a+1⟹4a=0⟹a=0$ 由此得到 $a=0$ 且 $b=0$，即 $a^2+b^2=0$。

充分性（由果索因）： 若 $a^2+b^2=0$，因为 $a,b\in \mathbf{R}$，则必有 $a=0$ 且 $b=0$。 此时原函数为 $f(x)=x|x|$。 对任意 $x\in \mathbf{R}$，有： $f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x)$ 满足奇函数的定义，充分性成立。

综上所述，函数 $f(x)=x|x+a|+b$ 是奇函数的充要条件是 $a=0$ 且 $b=0$，即 $a^2+b^2=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数的代数特征（全定义域满足 $f(-x)=-f(x)$，若 $0$ 在定义域内则 $f(0)=0$）。

2. 核心方法：通过特殊值法快速锁定必要条件，再通过严格的代数化简验证充分性。

3. 避坑指南：有些考生仅由 $f(0)=0$ 推出 $b=0$，便草率选择 A 或 B。必须保证 $a$ 和 $b$ 两个参数同时通过奇函数的全面检验，不可漏掉对 $a$ 的约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于函数基本性质中的经典考题，通过在常见多项式函数中嵌套绝对值符号，增强了对分类讨论和式子变形能力的考查。
2. 结论推广：函数 $f(x)=x^n|x+a|+b$（其中 $n$ 为正奇数），其为奇函数的充要条件同样是 $a=0$ 且 $b=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性