2002-苏豫粤卷-06 单-柱、锥、球的体积公式

本题导读

本题结合空间几何体的体积公式与平面三角函数计算，重点考查空间想象能力和通过代数方程解决几何图形中度量问题的能力。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是().

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　B. $\frac{4}{5}$　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　D. $-\frac{3}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用体积相等建立关系：设公共底面半径为 $R$，圆锥的高为 $h$。分别表示出圆锥与半球的体积，由体积相等求出 $h$ 与 $R$ 的比例关系。
2. 分析轴截面：圆锥的轴截面是一个等腰三角形，底边长为 $2R$，高为 $h$，两腰为圆锥的母线 $l$。顶角为该等腰三角形的顶角。
3. 求解余弦值：利用勾股定理求出母线 $l$，再通过二倍角公式或余弦定理求出顶角的余弦值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：设圆锥和半球的公共底面半径为 $R$，圆锥的高为 $h$。 由题意，半球的体积为： $V_{\text{半球}}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3$ 圆锥的体积为： $V_{\text{圆锥}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$ 因为 $V_{\text{圆锥}}=V_{\text{半球}}$，所以： $\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{2}{3}\pi R^3⟹h=2R$

设圆锥的轴截面为等腰三角形 $ABC$，其中顶角为 $\theta$，底边 $BC=2R$，高 $AO=h=2R$。 在直角三角形 $AOB$ 中，$\angle BAO=\frac{\theta }{2}$，则： $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{OB}{AO}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$

利用二倍角公式求顶角 $\theta$ 的余弦值： $\cos \theta =\frac{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}=\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球体体积公式（$V=\frac{4}{3}\pi R^3$）、圆锥体积公式（$V=\frac{1}{3}Sh$）以及圆锥轴截面的几何结构特征。
2. 核心方法：通过设出基本量（半径 $R$），建立几何体之间的代数关联，将三维空间问题转化为二维轴截面的平面三角问题。
3. 避坑指南：

• 易错记半球体积公式，漏掉系数 $\frac{1}{2}$；

• 轴截面顶角的半角正切值为 $\frac{R}{h}$，而非 $\frac{h}{R}$，在作比时需仔细对应几何图形的边长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将立体几何中的组合体问题与三角函数相结合，属于典型的立体几何与平面三角交汇题，源于教材中对空间几何体结构特征与体积计算的基本要求。
2. 结论推广：若圆锥与半径为 $R$ 的半球共底，且圆锥体积是半球体积的 $k$ 倍，则圆锥的高 $h=2kR$。此时，圆锥轴截面顶角 $\theta$ 的半角满足 $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2k}$，顶角的余弦值为 $\cos \theta =\frac{4k^2-1}{4k^2+1}$。本题即为 $k=1$ 时的特例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1987-全国文-15 填-圆锥的体积
• 1987-广东文-06 单-圆锥的体积