2002-苏豫粤卷-03 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查含绝对值的不等式求解。核心意图在于测试学生利用零点分段法消除绝对值符号，将复杂的混合型不等式转化为初等一元二次不等式组，并准确求解离散区间交集的能力。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 不等式 $(1+x)(1-|x|)>0$ 的解集是()

A. $\{x\mid 0\le x<1\}$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x\mid x<0\text{ 且 }x\ne -1\}$

C. $\{x\mid -1<x<1\}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\{x\mid x<1\text{ 且 }x\ne -1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：根据绝对值的核心定义，以 $x=0$ 为分界点建立分类讨论。将全实数集划分为 $x\ge 0$ 与 $x<0$ 两个独立区间。
2. 第二步逻辑：在各子区间内分别去掉绝对值符号，化简为标准的一元二次不等式组。
3. 第三步逻辑：分别解出两个子不等式组的解集，并将两个局部的解集求并集，得出最终的完整解集。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

根据绝对值的零点，分两种情况讨论：

情况 ①：当 $x\ge 0$ 时 此时 $|x|=x$，原不等式可以转化为： $(1+x)(1-x)>0⟹1-x^2>0⟹x^2<1$ 解得该二次不等式的范围为： $-1<x<1$ 将此解集与当前前提条件 $x\ge 0$ 取交集，得到： $0\le x<1$

情况 ②：当 $x<0$ 时 此时 $|x|=-x$，则原不等式中的 $(1-|x|)$ 变为 $(1-(-x))=1+x$。 因此原不等式转化为： $(1+x)(1+x)>0⟹(1+x{)}^2>0$ 根据实数平方的非负性性质，一个数的平方大于 0，只需该数本身不等于 0 即可： $1+x\ne 0⟹x\ne -1$ 将此解集与当前前提条件 $x<0$ 取交集，得到： $x<0\text{ 且 }x\ne -1$

综合汇总之：求两个区间的并集 将情况 ① 的解集 $\{x\mid 0\le x<1\}$ 与情况 ② 的解集 $\{x\mid x<0\text{ 且 }x\ne -1\}$ 进行并集叠加。

• 区间 $x<0$ 与 $0\le x<1$ 在零点处可以无缝拼接，合并后覆盖了 $x<1$ 的连续区域。
• 同时必须剔除情况 ② 中挖掉的孤立断点 $x=-1$。

因此，最终的解集为： $\{x\mid x<1\text{ 且 }x\ne -1\}$

正确答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值的分段脱壳化简；一元二次不等式与完全平方不等式的区间控制。
2. 核心方法：零点分段法。
3. 避坑指南：

• 完全平方漏根陷阱：在处理 $(1+x{)}^2>0$ 时，部分学生容易粗心写成 $1+x>0⟹x>-1$，从而完全丢掉了 $x<-1$ 的左侧无限区间。必须牢记形如 $A^2>0$ 的代数式解集为 $A\ne 0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高中代数不等式板块的经典设陷题，其运算本质是利用实数的乘法符号法则（同号得正）。
2. 结论推广: 对于所有形如 $(1+\omega x)(1-|\omega x|)>0(\omega >0)$ 的不等式系统： 均可通过标准两式同号进行等价符号转化：

• 当 $1-|\omega x|>0⟹|\omega x|<1⟹-\frac{1}{\omega }<x<\frac{1}{\omega }$。此时前项 $1+\omega x>0$ 恒成立，此区间全为有效解。
• 当 $1-|\omega x|<0$ 且 $1+\omega x<0$ 时，可解得 $x<-\frac{1}{\omega }$。 联合两个区间并剔除边界零点 $x=-\frac{1}{\omega }$，通解集公式可一元化总结为： $\left\{x|x<\frac{1}{\omega }\text{ 且 }x\ne -\frac{1}{\omega }\right\}$ 本题中 $\omega =1$，直接带入通式得 $x<1$ 且 $x\ne -1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形