2002-苏豫粤卷-02 单-圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题考查平面解析几何中点到直线距离的计算。核心意图在于测试学生从圆的标准方程中提取圆心坐标，并将直线解析式转化为一般式，进而准确应用点到直线距离公式进行求解的基础运算能力。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 的圆心到直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 的距离是()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：根据圆的标准方程 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$，直接读取出圆心坐标 $M(1,0)$。
2. 第二步逻辑：将直线的斜截式方程 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 进行两边去分母与移项变形，转化为标准的一般式方程 $Ax+By+C=0$。
3. 第三步逻辑：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，将圆心坐标 $M(1,0)$ 代入公式中完成代数精简计算。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定圆心坐标 已知圆的标准方程为 $(x-1{)}^2+y^2=1$。 对照标准模型可得：

• 圆心坐标为 $M(1,0)$
• 圆的半径为 $R=1$（本题求距离，半径作为干扰项不参与运算）

第二步：将直线方程化为一般式 已知直线方程为： $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 方程两边同时乘以 3 以消除分母： $3y=\sqrt{3}x$ 将所有项移至等号同一侧，整理成一般式形式 $Ax+By+C=0$： $\sqrt{3}x-3y=0$

第三步：计算圆心到直线的距离 应用点到直线的距离公式，求圆心 $M(1,0)$ 到直线 $\sqrt{3}x-3y=0$ 的距离 $d$： $d=\frac{|\sqrt{3}\times 1-3\times 0|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-3{)}^2}}$

计算分子与分母的代数数值：

• 分子： $|\sqrt{3}-0|=\sqrt{3}$
• 分母： $\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

代入距离公式中进行约分化简： $d=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$

正确答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解析几何两元基本构件（圆心点与一般式直线）的位置定量度量。
2. 核心方法：点线距离公式法。
3. 避坑指南：

• 系数平方和开方粗心：在计算分母 $\sqrt{A^2+B^2}$ 时，部分学生容易将 $B=-3$ 的平方错误写成 $-9$ 或直接代入直线解析式中的斜率 $k$ 进行混乱交叉，必须保证一般式 $A,B$ 系数严格与公式位置对齐。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高中平面解析几何板块的教材基础练习题演变，考查点到直线距离公式的直接应用。
2. 结论推广: 对于所有过原点的直线 $y=(\tan \alpha )x$，由于其与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\alpha$。圆心位于 $x$ 轴正半轴 $(x_0,0)$ 处。 在直角三角形中，由锐角三角函数定义可以直接构建几何关系：圆心到该直线的距离 $d$ 恒等于斜边乘以夹角的正弦值： $d=x_0\cdot \sin \alpha$ 本题中直线斜率 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹\alpha =30^{\circ }$，圆心横坐标 $x_0=1$。 直接套用几何投影通式： $d=1\times \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ 利用此数形结合的方法，可由几何关系直接求出圆心到直线的距离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切