2002-新课标理-17 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角函数的求值与恒等变换。核心意图在于考查学生的“整体换元思想”，通过将已知组合角 $\alpha +\frac{\pi }{4}$ 视作一个统一的空间整体，将目标代求角 $2\alpha +\frac{\pi }{4}$ 巧妙拆分为关于该整体的复合倍角差形式，结合象限符号条件完成定量解算。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 已知 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3}{5},\frac{\pi }{2}\le \alpha <\frac{3\pi }{2}$ ，求 $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（整体换元思想）： 设整体变元 $\theta =\alpha +\frac{\pi }{4}$，则已知条件可精简为 $\cos \theta =\frac{3}{5}$。
2. 第二步逻辑（判定整体角范围与正弦值）： 根据已知 $\alpha$ 的取值范围，两边同时加上 $\frac{\pi }{4}$，推导出 $\theta$ 的精确取值区间。结合 $\cos \theta >0$ 的空间特征判定其所在的象限，利用平方关系 $\sin \theta =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ 准确提取 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的符号与数值。
3. 第三步逻辑（目标角拆分化简）： 分析目标角与整体角之间的代数关联： $2\alpha +\frac{\pi }{4}=2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)-\frac{\pi }{4}=2\theta -\frac{\pi }{4}$ 套用两角差的余弦公式展开，并利用二倍角公式将 $\cos 2\theta$ 和 $\sin 2\theta$ 转化为关于 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 的基础表达式，代入数值完成求解。

✅【答案】

Success

$-\frac{31\sqrt{2}}{50}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求出 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的精确值 已知 $\frac{\pi }{2}\le \alpha <\frac{3\pi }{2}$，各项同时加上 $\frac{\pi }{4}$，可得： $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}\le \alpha +\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{4}⟹\frac{3\pi }{4}\le \alpha +\frac{\pi }{4}<\frac{7\pi }{4}$ 因为在区间 $\left[\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\right]$ 内，已知条件为： $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3}{5}>0$ 根据三角函数的象限符号特征，余弦值为正数的角只能落在第四象限。因此，复合角必然属于第四象限： $\alpha +\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{4}\right)$ 在第四象限中，正弦值恒为负数。应用同角三角函数平方关系： $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{1-{\cos }^2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}=-\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=-\frac{4}{5}$

第二步：将目标角进行整体变换与拆分 为了便于书写，设 $\theta =\alpha +\frac{\pi }{4}$。此时已有 $\cos \theta =\frac{3}{5}$， $\sin \theta =-\frac{4}{5}$。 将目标待求式中的角度进行重组： $2\alpha +\frac{\pi }{4}=2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)-\frac{\pi }{4}=2\theta -\frac{\pi }{4}$ 套用两角差的余弦公式展开： $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(2\theta -\frac{\pi }{4}\right)=\cos 2\theta \cos \frac{\pi }{4}+\sin 2\theta \sin \frac{\pi }{4}\text{(1)}$

第三步：计算二倍角基本量并求和 利用二倍角公式分别求解 $\cos 2\theta$ 和 $\sin 2\theta$：

• $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=2\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^2-1=2\times \frac{9}{25}-1=\frac{18}{25}-\frac{25}{25}=-\frac{7}{25}$
• $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2\times \left(-\frac{4}{5}\right)\times \frac{3}{5}=-\frac{24}{25}$

将 $\cos 2\theta =-\frac{7}{25}$， $\sin 2\theta =-\frac{24}{25}$ 以及 $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 代入展开式 ① 中： $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\left(-\frac{7}{25}\right)\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\frac{24}{25}\right)\times \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{7\sqrt{2}}{50}-\frac{24\sqrt{2}}{50}=-\frac{31\sqrt{2}}{50}$

答： $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的值为 $-\frac{31\sqrt{2}}{50}$ .

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：整体换元法在三角复合角问题中的运用；由已知角区间精确缩放判定开方正负号。
2. 核心方法：整体换元代数法。
3. 避坑指南：

• 角度拆分强行展开陷阱：部分学生一看到题就习惯性地将已知条件用两角和公式强行展开为 $3\sin \alpha -3\cos \alpha =\dots$，这会导致未知数相互交织，极难解出。牢记：含有 $\alpha +\frac{\pi }{4}$ 或 $\alpha -\frac{\pi }{4}$ 的组合，其目标项通常隐藏着该整体的 2 倍关系，优先考虑整体换元。
• 符号多解误判陷阱：在求 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 时，如果没有严格将 $\alpha$ 范围进行平移界定，可能会想当然地漏掉负号而错取 $\frac{4}{5}$。复合角开方前必做不等式范围平移。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材”给值求值”题型，考查同角关系、二倍角与和差角公式的整体代换，核心是”变角”思想：将 $2\alpha +\frac{\pi }{4}$ 化为 $2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)-\frac{\pi }{4}$，并注意角的范围定符号。

2. 结论推广: 一般地，已知 $\cos (\alpha +\phi )=m$ 及 $\alpha$ 范围，求 $\cos (2\alpha +\psi )$，可设 $\theta =\alpha +\phi$，则目标角 $=2\theta +(\psi -2\phi )$，用二倍角与和差角公式整体求解，避免求 $\alpha$ 本身。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷I理-17 解-解三角形
• 1957-全国-09 解-三次方程根为正弦求角
• 1963-全国-10 解-球内切于圆锥