2002-新课标理-08 单-二次函数的图像与性质

本题导读

本题主要考查二次函数在受限区间上的单调性问题。解题的关键是明确二次函数的对称轴位置与其单调区间的关系，进而将“在给定区间上是单调函数”这一几何特征转化为关于参数的代数不等式。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 函数 $y=x^2+bx+c,x\in [0,+\infty )$ 是单调函数的充要条件是()

A. $b\ge 0$　　　　　B. $b\le 0$　　　　　C. $b>0$　　　　　D. $b<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定对称轴：二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图像是开口向上的抛物线，其对称轴方程为 $x=-\frac{b}{2}$。
2. 分析单调区间：开口向上的抛物线在对称轴左侧 $(-\infty ,-\frac{b}{2}]$ 上单调递减，在对称轴右侧 $[-\frac{b}{2},+\infty )$ 上单调递增。
3. 结合定义域约束：要使函数在 $[0,+\infty )$ 上是单调函数，定义域区间必须完全位于对称轴的某一侧。由于区间向正无穷延伸，只能使该区间落在对称轴的右侧。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的开口向上，其对称轴为直线： $x=-\frac{b}{2}$

该函数在 $\left(-\infty ,-\frac{b}{2}\right]$ 上单调递减，在 $\left[-\frac{b}{2},+\infty \right)$ 上单调递增。

若函数在定义域 $x\in [0,+\infty )$ 上是单调函数，则给定的区间 $[0,+\infty )$ 必须是单调递增区间的子集（因为该区间包含 $+\infty$，不可能成为单调递减区间的子集）。

因此，必须满足： $-\frac{b}{2}\le 0$

两边同乘以 $-2$（注意不等号方向发生改变），得： $b\ge 0$

所以，函数 $y=x^2+bx+c,x\in [0,+\infty )$ 是单调函数的充要条件是 $b\ge 0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数图像的对称性与单调性，区间端点与对称轴的相对位置关系。
2. 核心方法：轴动区间定。通过确定对称轴 $x=-\frac{b}{2}$ 的动态位置，使其满足包含关系。
3. 避坑指南：易混淆单调区间的边界条件，误认为必须严格大于 $0$（即选 C）。需注意，当对称轴正好在原点（即 $-\frac{b}{2}=0\Rightarrow b=0$）时，函数在 $[0,+\infty )$ 上仍然是严格单调递增的，因此边界处的等号必须保留。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高一函数单调性与二次函数性质的基础概念题，是高考中对性质类命题考查的经典简易题型。
2. 结论推广：若二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 在区间 $[k,+\infty )$ 上是单调函数：

• 当 $a>0$ 时，充要条件为 $-\frac{b}{2a}\le k$；
• 当 $a<0$ 时，充要条件为 $-\frac{b}{2a}\le k$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性