本题导读
本题主要考查空间异面直线所成角的求解。以正六棱柱为载体，考查考生的空间想象能力与逻辑推理能力。求解的关键在于通过平移将异面直线转化为共面直线，构造三角形进行定量计算。
📌【题干】
Question
（2002年新课标卷(理)） 正六棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ，则这个棱柱侧面对角线 与 所成的角是()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 寻找平行关系：在正六棱柱中，利用底面正六边形和侧面矩形的平行对称性，寻找与已知异面直线平行的直线。
- 平移转化共面：将异面直线 与 中的一条进行平移，使其与另一条相交，从而将空间角转化为平面角。
- 计算三角形边长：将该角置于一个具体的三角形中，通过勾股定理或余弦定理求出各边长，进而确定角的大小。
✅【答案】
Success
B
✍【详细解析】
Abstract
方法一：传统几何法（平移法）
在正六棱柱 中：
- 观察底面正六边形 ，连接 ，，。由正六边形对边平行且相等的性质可知， 且 。
- 在侧面矩形 与 中，由于 且 ，，可知侧面对角线 与 平行且相等，即 。
- 因此，异面直线 与 所成的角，即为共面直线 与 所成的角 （或其补角）。
连接 ，在 中计算各边长：
- 在 Rt 中，，，则 。
- 同理，在 Rt 中，，，则 。
- 在底面正六边形 中，，由余弦定理可得：
由于 ，所以 为等边三角形。 由此可得 。 即异面直线 与 所成的角是 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：平移法求异面直线所成的角，正六边形的几何边角特征。
- 核心方法：通过正六边形的中心对称性，利用 进行等价平移，将空间异面问题化归为平面三角形问题。
- 避坑指南：正六边形底面的几何性质（如 ，对角线 ）容易记错，导致在计算 的第三边 时出现失误。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题属于立体几何中考查空间想象力的经典题型。源于教材中对非直角坐标系载体（如正三棱柱、正六棱柱）中异面直线相对位置关系的考查。
- 结论推广：在底面边长为 ，侧棱长为 的正六棱柱中，侧面对角线 与 所成角 的余弦值公式为：。当 时，，即 。
🔗【关联脉络】
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