2002-新课标理-05 单-三角不等式

本题导读

本题主要考查基本三角不等式的求解。在给定的一周性区间 $(0,2\pi )$ 内，比较正弦函数与余弦函数值的大小。通过数形结合（利用正余弦曲线的相对位置关系或单位圆中三角函数线的长短）能够快速、直观地得出正确答案。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 在 $(0,2\pi )$ 内，使 $\sin x>\cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ,\frac{5\pi }{4}\right)$　　B. $\left(\frac{\pi }{4},\pi \right)$　　C. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$　　D. $\left(\frac{\pi }{4},\pi \right)\cup \left(\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定临界点：在 $(0,2\pi )$ 内，方程 $\sin x=\cos x$（即 $\tan x=1$）的解为 $x_1=\frac{\pi }{4}$ 和 $x_2=\frac{5\pi }{4}$。
2. 数形结合分析：在同一个坐标系中画出 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 在 $(0,2\pi )$ 上的图像。
3. 寻找图形相对关系：观察正弦曲线位于余弦曲线上方对应的 $x$ 轴区间，即为所求的解集。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：三角函数图像法

在区间 $(0,2\pi )$ 内，分别画出正弦曲线 $y=\sin x$ 与余弦曲线 $y=\cos x$：

1. 两条曲线在 $(0,2\pi )$ 内的交点横坐标满足 $\sin x=\cos x$，解得 $x=\frac{\pi }{4}$ 或 $x=\frac{5\pi }{4}$。
2. 这两个交点将区间 $(0,2\pi )$ 分为三部分：$\left(0,\frac{\pi }{4}\right)$、$\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$、$\left(\frac{5\pi }{4},2\pi \right)$。
3. 观察图像可知：

• 当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 时，余弦曲线在正弦线上方，即 $\sin x<\cos x$；
• 当 $x\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$ 时，正弦曲线在余弦线上方，即 $\sin x>\cos x$；
• 当 $x\in \left(\frac{5\pi }{4},2\pi \right)$ 时，余弦曲线在正弦线上方，即 $\sin x<\cos x$。

综上所述，使 $\sin x>\cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$。

方法二：特殊值排除法

• 取 $x=\frac{\pi }{2}$，此时 $\sin \frac{\pi }{2}=1$，$\cos \frac{\pi }{2}=0$，满足 $\sin x>\cos x$。说明解集必须包含 $\frac{\pi }{2}$。排除 (A)（因为 (A) 中不含 $\frac{\pi }{2}$）。
• 取 $x=\pi$，此时 $\sin \pi =0$，$\cos \pi =-1$，满足 $\sin x>\cos x$。说明解集必须包含 $\pi$。排除 (B) 和 (D)（这两项对应的区间都在 $\pi$ 处断开，未包含 $\pi$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦函数与余弦函数在各个象限的符号与大小关系，三角不等式的基本解法。
2. 核心方法：数形结合法（图像法或单位圆中的对角线区域法）。对于这类小题，特殊值验证也是一种极其高效的避坑手段。
3. 避坑指南：在做特值排除时，容易主观误认为在第二、三象限内因为正负号交替而需要分段书写，从而误选 (D)。实际上，在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$ 整个完整的区间内，正弦曲线均严格大于余弦曲线，无需断开。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于对基础三角函数图像形态特征的直接考查，源于课本中关于正弦、余弦函数图像交点以及单位圆中直线的截距式区域划分问题。
2. 结论推广：在同一周期内，若要求 $\sin x>\cos x$，对应的区域是直线 $y=x$ 划分平面后的某一侧，其通用解集区域为 $\left(2k\pi +\frac{\pi }{4},2k\pi +\frac{5\pi }{4}\right),k\in \mathbf{Z}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1977-甘肃-01 解-数的大小比较四问
• 1986-上海文-14 单-三角函数值大小比较
• 1986-上海文-32 解-三角式的最值