2002-新课标理-01 单-圆的参数方程

本题导读

本题考查圆的参数方程以及三角函数最值的求解。通过将曲线上的点用参数表示，将几何距离问题转化为一元三角函数的最值问题，主要考查考生的基本运算能力。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 曲线 $\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$ ($\theta$ 为参数) 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 写出目标函数：设曲线上任意一点为 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$，该点到两坐标轴的距离之和为 $d=|x|+|y|=|\cos \theta |+|\sin \theta |$。
2. 利用对称性化简：由于函数具有周期性和对称性，可先讨论 $\theta$ 在第一象限（即 $\cos \theta \ge 0,\sin \theta \ge 0$）的情形。
3. 求解最值：利用辅助角公式（或三角不等式）求出 $d=\sin \theta +\cos \theta$ 的最大值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设曲线上任意一点为 $P(x,y)$，则 $x=\cos \theta$，$y=\sin \theta$。 点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $|y|$，到 $y$ 轴的距离为 $|x|$。 因此，点 $P$ 到两坐标轴的距离之和为： $d=|x|+|y|=|\cos \theta |+|\sin \theta |$

根据对称性，当 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$ 时，$\cos \theta \ge 0,\sin \theta \ge 0$，此时： $d=\cos \theta +\sin \theta$

引入辅助角公式变形得： $d=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$

因为 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$，所以 $\theta +\frac{\pi }{4}\in [\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$。 当 $\theta +\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，即 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 时，$\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ 取得最大值 $1$。

此时，$d$ 的最大值为： $d_{\max }=\sqrt{2}\times 1=\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的参数方程与点到直线的距离，三角函数的辅助角公式 $A\sin \omega x+B\cos \omega x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (\omega x+\phi )$。
2. 核心方法：利用对称性去绝对值符号。由于第一象限的最值情况可以代表整个坐标系的情况，直接简化了绝对值带来的分类讨论。
3. 避坑指南：容易忽视距离公式中的绝对值符号，直接写成 $d=\cos \theta +\sin \theta$ 虽不影响最终最大值的求解，但在逻辑上若不说明对称区间则不够严谨。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中圆的经典参数方程，并与高一三角函数的性质相结合，是典型的高考第一题（基础题），旨在考查常规基本功。
2. 结论推广：若将曲线推广为椭圆 $\{\begin{array}{l}x=a\cos \theta \\ y=b\sin \theta \end{array}$ ($a>0,b>0$)，则其上的点到两坐标轴距离之和的最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 1981-全国文-04 解-正弦型函数的最值