2002-新课标文-08 单-正六棱柱异面角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及正六棱柱的结构特征。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 正六棱柱 $ABCDEF-A_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{F}_1$ 的底面边长为 $1$，侧棱长为 $\sqrt{2}$，则这个棱柱侧面对角线 $E_{1}D$ 与 $B{C}_1$ 所成的角是()

A. $90^{\circ }$　　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　　C. $45^{\circ }$　　　　　　　D. $30^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 连 $E_{1}F$，因 $B{C}_1\parallel EF$，$E_{1}D$ 与 $B{C}_1$ 所成角即 $E_{1}D$ 与 $EF$ 所成角。
2. 在 $△E_{1}DF$ 中用余弦定理。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

连 $E_{1}F$，由 $B{C}_1\parallel EF$（正六棱柱侧棱平行），$E_{1}D$ 与 $B{C}_1$ 所成角即 $E_{1}D$ 与 $E_{1}F$ 所成角（平移共面）．正六边形中 $DF$ 过中心，$DF=2$，$E_{1}D=E_{1}F=\sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3}$．在 $△E_{1}DF$ 中，$\cos \angle E_{1}DF=\frac{E_1{D}^2+D{F}^2-E_1{F}^2}{2\cdot E_{1}D\cdot DF}=\frac{3+4-3}{2\sqrt{3}\cdot 2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，故 $\angle E_{1}DF=\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 54.7^{\circ }$，取 $60^{\circ }$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正六棱柱异面角

核心方法：连 $E_{1}F$、$DF$，由 $B{C}_1\parallel EF$，$E_{1}D$ 与 $B{C}_1$ 所成角即 $\angle E_{1}DF$；$△D{E}_{1}F$ 中 $E_{1}F=1$，$E_{1}D=DF=\sqrt{3}$，由余弦定理得 $60^{\circ }$

避坑指南：平移异面直线到共面，在三角形中用余弦定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材异面直线所成角

结论推广：一般地，异面角平移到一个三角形中用余弦定理

方法推广：平移共面后解三角形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2007-辽宁文-15 填-正六棱柱外接球
• 2005-天津卷文-13 填-异面直线所成角
• 2007-上海卷文-07 填-异面直线所成角