2002-大纲理-18 解-平面垂直的性质

本题导读

本题考查空间线面位置关系、空间距离的最值以及二面角的计算。核心意图在于测试学生利用平面垂直的条件建立空间直角坐标系，将空间几何问题转化为向量运算，并结合二次函数与法向量求解空间最值和二面角的能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 如图，正方形 $ABCD$、$A\text{BEF}$ 的边长都是 1，而且平面 $ABCD$、平面 $A\text{BEF}$ 互相垂直.点 $M$ 在 $AC$ 上移动，点 $N$ 在 $BF$ 上移动，若 $CM=BN=a(0<a<\sqrt{2})$.

(1) 求 $MN$ 的长；

(2) $a$ 为何值时，$MN$ 的长最小；

(3) 当 $MN$ 的长最小时，求面 $MNA$ 与面 $MNB$ 所成二面角 $\alpha$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（建系立标）：由正方形 $ABCD$ 和 $ABEF$ 共享边 $AB$，且平面 $ABCD\perp$ 平面 $ABEF$，可得 $BC\perp AB$ 且 $BC\perp$ 平面 $ABEF$。以 $B$ 为原点， $BA,BE,BC$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。
2. 第二步（表示动点坐标）：正方形对角线长为 $\sqrt{2}$。利用向量共线关系，将动点 $M$ 和 $N$ 的坐标用参数 $a$ 表示，应用两点间距离公式构建关于 $a$ 的一元二次函数求解 (1) 和 (2)。
3. 第三步（计算二面角）：当 $MN$ 最小时求出对应点坐标。分别求出平面 $MNA$ 和平面 $MNB$ 的法向量，利用法向量夹角公式计算二面角的大小。

✅【答案】

Success

(1) $MN=\sqrt{{\left(a-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}}$

(2) 当 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$MN$ 最小，最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $MN$ 的长

因为平面 $ABCD\perp$ 平面 $ABEF$，且 $BC\perp AB$， $BC\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $BC\perp$ 平面 $ABEF$。又 $BE\subset$ 平面 $ABEF$，故 $BC\perp BE$。 由此可知 $BA,BE,BC$ 两两互相垂直。

以 $B$ 为坐标原点， $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BC}$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 则各相关顶点的坐标为： $B(0,0,0),A(1,0,0),C(0,0,1),F(1,1,0)$

正方形对角线 $AC=BF=\sqrt{2}$。 由于 $CM=a$，而 $AC=\sqrt{2}$，故 $\overrightarrow{CM}=\frac{a}{\sqrt{2}}\overrightarrow{CA}$，可得： $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a,0,1-\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)$ 由于 $BN=a$，由 $\overrightarrow{BN}=\frac{a}{\sqrt{2}}\overrightarrow{BF}$，可得： $N\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a,\frac{\sqrt{2}}{2}a,0\right)$

利用空间两点间距离公式计算 $M{N}^2$（注意 $M$、$N$ 的横坐标相同，第一项为 $0$）： $M{N}^2=0+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2+{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2=\frac{1}{2}{a}^2+1-\sqrt{2}a+\frac{1}{2}{a}^2$ $M{N}^2=a^2-\sqrt{2}a+1={\left(a-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}$

故 $MN$ 的长为： $MN=\sqrt{{\left(a-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}}$

(2) $a$ 为何值时，$MN$ 的长最小

由上式，当 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $M{N}^2$ 取得最小值 $\frac{1}{2}$。 因为 $0<\frac{\sqrt{2}}{2}<\sqrt{2}$，属于参数 $a$ 的取值范围， 所以当 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$MN$ 的长度最小，最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

(3) 求面 $MNA$ 与面 $MNB$ 所成二面角 $\alpha$ 的大小

当 $MN$ 的长最小时，$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$。代入 $M,N$ 坐标得： $M\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right),N\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$

取 $MN$ 的中点 $Q\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$，则 $\overrightarrow{QA}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4}\right),\overrightarrow{QB}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{1}{4}\right)$ 而 $\overrightarrow{MN}=\left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$，算得 $\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{MN}=0$、$\overrightarrow{QB}\cdot \overrightarrow{MN}=0$，即 $QA\perp MN$、$QB\perp MN$。 故 $\angle AQB$ 就是二面角 $A-MN-B$ 的平面角。

$\cos \angle AQB=\frac{\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}}{|\overrightarrow{QA}|\cdot |\overrightarrow{QB}|}=\frac{-\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}}{\frac{\sqrt{6}}{4}\cdot \frac{\sqrt{6}}{4}}=\frac{-\frac{1}{8}}{\frac{3}{8}}=-\frac{1}{3}$

余弦为负，故二面角为钝角： $\alpha =\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的建立与点坐标表达；利用法向量求解二面角。
2. 核心方法：坐标向量法、二次函数配方法。
3. 避坑指南：

• 二面角判锐钝不能想当然：本题算出 $\cos \angle AQB=-\frac{1}{3}$，$\angle AQB$ 又是货真价实的平面角（$QA\perp MN$、$QB\perp MN$），故二面角就是钝角 $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$。取绝对值只对”两平面所成的角”（范围 $(0,\frac{\pi }{2}]$）成立；二面角的范围是 $[0,\pi ]$，负号不能抹。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为标准的高考立体几何压轴题，重点考查空间向量法在处理动态动点问题中的建模优势。
2. 结论推广： 对于两个相互垂直且共享边长为 $1$ 的正方形平面，其对角线上相向运动的动点间距离平方，均可写成标准的一元二次递增或递减函数 $f(a)=k_1{a}^2-k_{2}a+1$。通过求偏导或配方确定驻点，能将这类复杂的空间动态追及最值问题转化为基础的一元解析问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1977-辽宁-06 解-二次函数最值
• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积