2002-大纲理-10 单-反比例函数图象

本题导读

本题考查有理分式函数（反比例函数型）图象的判定。核心意图在于测试学生利用函数图象的平移变换和对称变换规律，或者通过求解双曲线的水平与竖直渐近线、特殊截距点，在选项中快速进行直观匹配和准确排除的能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 函数 $y=1-\frac{1}{x-1}$ 的图象是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（图象变换法）：

• 从最基本的母函数 $y=\frac{1}{x}$ 开始。
• 变号得到 $y=-\frac{1}{x}$，图象关于 $x$ 轴对称（分布在第二、四象限）。
• 自变量减 1 得到 $y=-\frac{1}{x-1}$，图象向右平移 1 个单位，垂直渐近线变为 $x=1$。
• 整体加 1 得到 $y=1-\frac{1}{x-1}$，图象向上平移 1 个单位，水平渐近线变为 $y=1$。

2. 方法二（特殊点与渐近线排除法）：

• 求渐近线：分母归零处 $x-1=0⟹x=1$ 为垂直渐近线；当 $x\to \infty$ 时，分式趋于 0， $y\to 1$ 为水平渐近线。以此排除 C、D（它们的渐近线是 $x=-1$）。
• 求特殊点：令 $x=0$，求其 $y$ 轴截距值。代入后即可通过截距的正负或零值在 A、B 中定乾坤。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：特殊点与渐近线分析法（最速解法）

1. 确定渐近线位置： 对于函数 $y=1-\frac{1}{x-1}$：

• 当分母 $x-1=0$ 时，函数无意义，故其垂直渐近线为直线 $x=1$。
• 当 $x$ 趋向于无穷大（$x\to \infty$）时，分式 $\frac{1}{x-1}\to 0$，故 $y\to 1$，因此其水平渐近线为直线 $y=1$。

观察四个选项中的虚线（渐近线）：

• A 选项：垂直渐近线 $x=1$，水平渐近线 $y=1$（保留）；

• B 选项：垂直渐近线 $x=1$，水平渐近线 $y=1$（保留）；

• C 选项：垂直渐近线 $x=-1$，水平渐近线 $y=1$（排除）；

• D 选项：垂直渐近线 $x=-1$，水平渐近线 $y=1$（排除）。

2. 代入特殊点排除： 求函数图象与 $y$ 轴的交点（即令 $x=0$）： $y=1-\frac{1}{0-1}=1-\frac{1}{-1}=1-(-1)=2$ 即图象必须经过点 $(0,2)$，对应的 $y$ 轴截距为正数。

对比 A、B 选项：

• A 选项：图象经过坐标原点 $(0,0)$，不符合；
• B 选项：图象与 $y$ 轴交于正半轴，且分支分布在渐近线的左上和右下区域（对应第二、四象限变形），完全符合。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象的平移变换规律（“左加右减，上加下减”）；分式函数渐近线方程的解析；特殊点定位。
2. 核心方法：特殊值排除法、渐近线交点控制法。
3. 避坑指南：

• 平移符号看错陷阱：在推导 $y=-\frac{1}{x-1}+1$ 时，部分学生容易把 $x-1$ 误认为是向左平移，从而错看到 C 选项的对应几何图形。必须牢记自变量 $x$ 上的减法表示向右平移。
• 截距计算粗心：在计算 $1-\frac{1}{0-1}$ 时，容易漏掉分母的负号，错误算成 $1-1=0$，从而误选经过原点的 A 选项。双重负号变正号的细节务必细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于传统高考数学函数图象识别的经典题型，考查的核心基础是初中反比例函数在高中阶段进行向量平移后的全貌展现。
2. 结论推广： 对于所有形如 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ 的一般分式函数（渐近线型双曲线），均可通过“分离常数法”化为本题的标准标准形式： $y=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}$ 其中心对称点（即两条渐近线的交点）的坐标恒为 $\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)$。掌握了中心对称点，此类识图题可通过观察虚线交点位置直接判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-13 解-函数图象的画法
• 1958-北京-08 解-二次函数符号区间与图象
• 1958-沪闽-04 解-待定系数定二次函数四问