2002-大纲理-08 单-异面直线所成的角

本题导读

本题考查空间中异面直线所成角的计算。核心意图在于测试学生利用空间几何体的对称特征，通过“平移转化”或建立“空间直角坐标系（向量法）”，将异面直线的问题转化为同一平面内相交直线的夹角，并进行精确数量化简的能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 正六棱柱 $ABCD\text{EF}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{F}_1$ 的底面边长为 1，侧棱长为 $\sqrt{2}$，则这个棱柱侧面对角线 $E_{1}D$ 与 $B{C}_1$ 所成的角是 ()

A. $90^{\circ }$　　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　　C. $45^{\circ }$　　　　　　　D. $30^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（空间向量坐标法）：借助于正六边形的中心对称性，以底面正六边形的中心为原点建立空间直角坐标系。求出关键顶点 $E_1,D,B,C_1$ 的空间坐标，计算方向向量 $\overrightarrow{E_{1}D}$ 与 $\overrightarrow{B{C}_1}$ 的内积与模长，利用向量夹角公式求解。
2. 方法二（几何平移法）：利用正六棱柱侧面的平行关系进行异面直线平移。因为侧面 $AB{B}_1{A}_1\parallel$ 侧面 $ED{D}_1{E}_1$，且 $ED\parallel AB,E_1{D}_1\parallel A_1{B}_1$，可以得出侧面对角线 $E_{1}D\parallel A_{1}B$。从而将异面直线 $E_{1}D$ 与 $B{C}_1$ 所成的角转化为相交直线 $A_{1}B$ 与 $B{C}_1$ 所成的角。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：空间向量坐标法

设底面正六边形 $ABCDEF$ 的中心为 $O$。以 $O$ 为原点， $OD$ 方向为 $x$ 轴正方向，过 $O$ 且垂直于 $OD$ 的直线为 $y$ 轴， $O{O}_1$ （上下底面中心连线）方向为 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。

由于底面边长为 $1$，正六边形的高（相对两边距离）为 $\sqrt{3}$，各顶点的平面坐标可直接求出。结合侧棱长 $h=\sqrt{2}$，确定相关顶点的空间坐标：

• $D$ 位于 $x$ 轴上，距原点为 $1$，故 $D(1,0,0)$；
• $E$ 与 $D$ 相邻，夹角为 $60^{\circ }$，其坐标为 $\left(\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ },0\right)=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$。 则上底面顶点 $E_1$ 的坐标为 $E_1\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{2}\right)$。
• $B$ 的坐标为 $\left(\cos (-60^{\circ }),\sin (-60^{\circ }),0\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$。
• $C$ 的坐标为 $\left(\cos 0^{\circ },\sin 0^{\circ },0\right)$ 错， $C$ 与 $D$ 夹角应为 $60^{\circ }$。 更简单的定义方式： 由正六边形几何关系， $\overrightarrow{OD}=(1,0,0)$， $\overrightarrow{OC}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$， $\overrightarrow{OB}=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$ 错。 重新校准坐标系： 令 $D(1,0,0)$， $C\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$， $B\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$， $A(-1,0,0)$， $F\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$， $E\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$。 则对应上底面高度增加 $\sqrt{2}$：
• $E_1\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{2}\right)$
• $C_1\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{2}\right)$

根据顶点坐标计算两个异面直线的方向向量： $\overrightarrow{E_{1}D}=D-E_1=\left(1-\frac{1}{2},0-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),0-\sqrt{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-\sqrt{2}\right)$ $\overrightarrow{B{C}_1}=C_1-B=\left(\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right),\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{2}-0\right)=\left(1,0,\sqrt{2}\right)$

计算向量的内积： $\overrightarrow{E_{1}D}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}=\frac{1}{2}\times 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\times 0+(-\sqrt{2})\times \sqrt{2}=\frac{1}{2}+0-2=-\frac{3}{2}$

计算向量的模长： $\left|\overrightarrow{E_{1}D}\right|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+(-\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+2}=\sqrt{3}$ $\left|\overrightarrow{B{C}_1}\right|=\sqrt{1^2+0^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$

设两向量的夹角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{E_{1}D}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}}{|\overrightarrow{E_{1}D}|\cdot |\overrightarrow{B{C}_1}|}=\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{-\frac{3}{2}}{3}=-\frac{1}{2}$

因为异面直线所成的角取值范围为 $\left(0^{\circ },90^{\circ }\right]$，通过取绝对值消除方向影响： $\cos \varphi =|\cos \theta |=\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}⟹\varphi =60^{\circ }$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间特殊多棱柱中异面直线夹角的代数化（向量法）与几何化（平移法）映射。
2. 核心方法：空间直角坐标系法、向量数量积求夹角。
3. 避坑指南：

• 正六边形坐标系建系误差：在建立涉及正六边形的坐标系时，各相邻顶点的夹角为 $60^{\circ }$ 或 $120^{\circ }$，投影长度极易把 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的位置挂错。建系完毕后，务必通过计算两点间距离（验证底面边长是否为 1）进行复核。
• 钝角未转化陷阱：向量夹角计算出 $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ 时，对应向量角为 $120^{\circ }$。而直线的夹角严格定义在锐角和直角区间，必须通过取绝对值将其转化为补角 $60^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于空间几何求角问题的传统经典题型，主要考查立体几何中的空间想象力与解析几何中代数运算的交汇整合。
2. 结论推广： 在底面边长为 $a$、侧棱长为 $h$ 的正六棱柱中，任意两个侧面对角线（若它们具有对称的跨度）的方向向量，其夹角的余弦值可直接推导为关于 $a$ 和 $h$ 的参数方程通式。本题中通过特殊的 $a=1,h=\sqrt{2}$，使模长相等的两个向量夹角恰好落在特殊三角函数值 $\pm \frac{1}{2}$ 上，体现了高考命题在数值设计上的精巧凑整性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-08 单-异面直线的性质
• 1988-广东理-06 单-异面直线的性质
• 1992-上海-10 填-异面直线所成的角