2002-大纲理-07 单-旋转体的体积公式

本题导读

本题考查空间旋转体的体积计算以及立体几何图形轴截面的平面几何特征。核心意图在于测试学生利用体积相等条件建立圆锥高与底面半径的比例方程，进而通过三角恒等变换（二倍角公式）或余弦定理求解轴截面顶角余弦值的能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 ()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　B. $\frac{4}{5}$　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　D. $-\frac{3}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（建立比例关系）：设公共底面的半径为 $R$，圆锥的高为 $h$。分别写出圆锥的体积 $V_{\text{锥}}$ 与半球的体积 $V_{\text{半球}}$，利用两者相等列出方程，求出高 $h$ 与半径 $R$ 的代数比例。
2. 第二步（剖析轴截面几何）：圆锥的轴截面是一个底边长为 $2R$、高为 $h$ 的等腰三角形。设轴截面顶角为 $2\theta$，则顶角的一半 $\theta$ 满足 $\tan \theta =\frac{R}{h}$。
3. 第三步（恒等变换求值）：利用三角函数基本关系求出 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$，再利用二倍角公式 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ 算出顶角的余弦值；或者利用勾股定理求出母线长，在轴截面三角形中直接应用余弦定理求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用体积相等求解基本量比例 设圆锥和半球的公共底面半径为 $R(R>0)$，圆锥的高为 $h(h>0)$。 根据体积公式：

• 圆锥的体积为： $V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$
• 半球的体积为： $V_{\text{半球}}=\frac{1}{2}\times \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)=\frac{2}{3}\pi R^3$

已知 $V_{\text{锥}}=V_{\text{半球}}$，则有： $\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{2}{3}\pi R^3$ 两边同时消去 $\frac{1}{3}\pi R^2$ 得： $h=2R$

第二步：求轴截面顶角的余弦值 圆锥的轴截面是以底面直径 $2R$ 为底边，高为 $h=2R$ 的等腰三角形。设顶角为 $\alpha$。

• 解法一：二倍角公式法 高线将顶角 $\alpha$ 平分为两个角 $\theta$，即 $\alpha =2\theta$。 在直角三角形中，满足： $\tan \theta =\frac{R}{h}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$ 由于 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 且 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{1}{2}⟹\cos \theta =2\sin \theta$，代入平方关系可得： ${\sin }^2\theta =\frac{1}{1+{\tan }^2\theta }=\frac{1}{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}$ ${\cos }^2\theta =\frac{4}{5}\times 4\times {\sin }^2\theta \text{ 不对，应为 }{\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$ 根据二倍角公式，顶角 $\alpha$ 的余弦值为： $\cos \alpha =\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

• 解法二：余弦定理法 在轴截面直角三角形中，由勾股定理求出圆锥的母线长 $l$（即轴截面等腰三角形的腰长）： $l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{R^2+(2R{)}^2}=\sqrt{5R^2}=\sqrt{5}R$ 整个轴截面三角形的三边长分别为 $l,l,2R$，即 $\sqrt{5}R,\sqrt{5}R,2R$。 由余弦定理，顶角 $\alpha$ 的余弦值为： $\cos \alpha =\frac{l^2+l^2-(2R{)}^2}{2\cdot l\cdot l}=\frac{5R^2+5R^2-4R^2}{2\cdot 5R^2}=\frac{6R^2}{10R^2}=\frac{3}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：半球与圆锥的体积公式；等腰三角形的几何解法（余弦定理或二倍角恒等变形）。
2. 核心方法：基本量法（参数化消元）、空间截面平面化法。
3. 避坑指南：

• 球体体积系数混淆：极易将半球体积直接错套用为整球体积公式 $\frac{4}{3}\pi R^3$，从而导致算出的比例关系变形为 $h=4R$，进而错选其他干扰选项。解题时务必看清“半球”这一前缀约束词。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的空间几何体组合设计题，考查了从“体”到“面”（轴截面）的维度收缩转换，是高考立体几何选择题中测试基本运算公式的标准型。
2. 结论推广： 对于所有底面共享且体积相等的圆锥与 $n$ 分之一球（半径均为 $R$）的组合： 若圆锥体积等于 $k$ 倍的整球体积，则满足 $h=4kR$。其轴截面顶角的切半角满足 $\tan \theta =\frac{1}{4k}$。再利用万能公式或余弦定理，可直接将其顶角余弦值表示为关于体积比例系数 $k$ 的一般代数通式： $\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }=\frac{1-\frac{1}{16k^2}}{1+\frac{1}{16k^2}}=\frac{16k^2-1}{16k^2+1}$ 本题中半球体积为整球的一半，即 $k=\frac{1}{2}$。代入推广公式验证： $\cos \alpha =\frac{16(1/4)-1}{16(1/4)+1}=\frac{4-1}{4+1}=\frac{3}{5}$，结论完全一致。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-重庆-05 解-扇形卷圆锥
• 1987-全国文-15 填-圆锥的体积
• 1987-广东文-06 单-圆锥的体积