2002-大纲理-06 单-曲线的参数方程与普通方程互化

本题导读

本题考查参数方程的应用以及动点间距离的最值求解。核心意图在于测试学生利用参数设出动点坐标，建立两点间距离的代数函数模型，并结合二次函数的图象特征与参数取值范围精确求解最值的能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 点 $P(1,0)$ 到曲线 $\{\begin{array}{l}x=t^2\\ y=2t\end{array}$ (其中参数 $t\in \mathbf{R}$) 上的点的最短距离为 ()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（设点建立距离函数）：由于曲线已由参数 $t$ 给出，可直接设曲线上任意动点 $Q$ 的坐标为 $(t^2,2t)$。
2. 第二步（构建二次函数）：应用平面两点间距离公式，写出 $|PQ{|}^2$ 关于参数 $t$ 的代数表达式。该表达式通过换元（令 $u=t^2$）可转化为关于 $u$ 的一元二次函数。
3. 第三步（区间最值判定）：严格注意换元后新变元的取值范围约束（$u=t^2\ge 0$），结合二次函数的对称轴位置，确定其在特定区间上的最小值，最后开平方得出最短距离。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设已知曲线上的任意动点为 $Q(t^2,2t)$，其中 $t\in \mathbf{R}$。

利用平面直角坐标系中两点间的距离公式，计算定点 $P(1,0)$ 到动点 $Q$ 的距离平方 $|PQ{|}^2$： $|PQ{|}^2=(t^2-1{)}^2+(2t-0{)}^2$ 展开并合并同类项： $|PQ{|}^2=t^4-2t^2+1+4t^2$ $|PQ{|}^2=t^4+2t^2+1$

进行代数因式分解（配方），可得完全平方式： $|PQ{|}^2=(t^2+1{)}^2$

由于距离恒为非负数，对上式两边同时开平方： $|PQ|=\sqrt{(t^2+1{)}^2}=|t^2+1|$

因为对任意实数 $t\in \mathbf{R}$，恒有 $t^2\ge 0$，所以： $t^2+1\ge 0+1=1$

由此可得距离的最小值为： $|PQ{|}_{\min }=1$

当且仅当 $t=0$（即动点 $Q$ 位于坐标原点 $(0,0)$）时取到等号。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数坐标系的距离函数化转化；二次函数的有界性最值。
2. 核心方法：因式分解法、代数配方法。
3. 避坑指南：

• 消元后的定义域陷阱：若将参数方程消元化为普通方程 $y^2=4x$（开口向右的抛物线），再设动点为 $(x,y)$ 进行计算，务必牢记抛物线上的点满足横坐标 $x\ge 0$ 的隐性有界条件。本题由于展开后直接构成了完美的完全平方式 $(t^2+1{)}^2$，因而直接避开了对称轴在定义域外的分类讨论，但常规题目中必须时刻对变元范围保持警惕。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于抛物线 $y^2=2px$ 上的动点到焦点或特定定点的距离最值考查。由于给出的是标准参数方程，极大精简了消元带来的双重符号（根式）干扰。
2. 结论推广： 对于定点 $P(x_0,0)$ 到标准抛物线 $y^2=4x$ 上动点的最短距离问题： 其距离平方函数为 $f(x)=(x-x_0{)}^2+4x=x^2+2(2-x_0)x+x_0^2$，对称轴为 $x=x_0-2$。

• 当 $x_0-2\le 0⟹x_0\le 2$ 时，最小值的临界点在顶点 $x=0$ 处取得，最短距离为 $x_0$；
• 当 $x_0-2>0⟹x_0>2$ 时，最小值的临界点在对称轴 $x=x_0-2$ 处取得，最短距离为 $\sqrt{4x_0-4}$。 本题中 $x_0=1\le 2$，完全符合第一种情况，故最短距离直接为 $x_0=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1977-河南-08 解-产量与消耗二次函数
• 1977-辽宁-06 解-二次函数最值