2002-大纲理-05 单-集合的包含关系与判定

本题导读

本题考查数集之间包含关系的判定。核心意图在于测试学生对含有参数 $k\in \mathbf{Z}$ 的描述法所表示的集合进行代数结构变形、通分对比，从而准确判断两个无限离散数集之间包含与被包含逻辑关系的能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 设集合 $M=\left\{x|x=\frac{k}{2}+\frac{1}{4},k\in \mathbf{Z}\right\}$，$N=\left\{x|x=\frac{k}{4}+\frac{1}{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$，则 ()

A. $M=N$　　　　　B. $M\subseteq N$　　　　　C. $M\supseteq N$　　　　　D. $M\cap N=\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（通分对比法）：将两集合中代表元素的表达式分别进行通分，统一分母为 $4$。通过比较分子中整数项的代数式结构（如奇数、偶数或全体整数），判定两个集合元素的覆盖范围。
2. 方法二（列举法）：分别赋予参数 $k$ 若干组连续的整数值（如 $-2,-1,0,1,2$），写出集合 $M$ 和 $N$ 的前几项具体数值，在数轴上观察两组离散点集的归属包含关系。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：通分对比法

首先，对集合 $M$ 中的元素表达式进行通分，统一分母为 $4$： $x=\frac{k}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2k}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2k+1}{4}(k\in \mathbf{Z})$ 因为 $k\in \mathbf{Z}$，所以 $2k+1$ 表示所有的奇数。 因此，集合 $M$ 实质上是所有分母为 $4$ 且分子为奇数的有理数构成的集合。

接着，对集合 $N$ 中的元素表达式进行通分，统一分母为 $4$： $x=\frac{k}{4}+\frac{1}{2}=\frac{k}{4}+\frac{2}{4}=\frac{k+2}{4}(k\in \mathbf{Z})$ 因为 $k\in \mathbf{Z}$，所以 $k+2$ 随着 $k$ 取遍所有整数，同样可以取遍所有的全体整数（包括所有奇数和所有偶数）。 因此，集合 $N$ 实质上是所有分母为 $4$ 且分子为任意整数的有理数构成的集合。

比较两者分子： 集合 $M$ 的分子集（奇数集）是集合 $N$ 的分子集（全体整数集）的真子集。 所以，集合 $M$ 中的任意一个元素都必然属于集合 $N$，但集合 $N$ 中的元素（如分子为偶数的项）不一定属于集合 $M$。

故满足包含关系： $MN$（即 $M\subseteq N$）。

方法二：特殊值列举法

• 依次令 $k=-1,0,1,2$ 计算集合 $M$ 的部分元素：

• 当 $k=-1$ 时， $x=-\frac{1}{4}$；

• 当 $k=0$ 时， $x=\frac{1}{4}$；

• 当 $k=1$ 时， $x=\frac{3}{4}$；

• 当 $k=2$ 时， $x=\frac{5}{4}$。 即 $M=\left\{\dots ,-\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\dots \right\}$。

• 依次令 $k=-3,-2,-1,0,1,2,3$ 计算集合 $N$ 的部分元素：

• 当 $k=-3$ 时， $x=-\frac{1}{4}$；

• 当 $k=-2$ 时， $x=0$；

• 当 $k=-1$ 时， $x=\frac{1}{4}$；

• 当 $k=0$ 时， $x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；

• 当 $k=1$ 时， $x=\frac{3}{4}$；

• 当 $k=2$ 时， $x=\frac{4}{4}=1$；

• 当 $k=3$ 时， $x=\frac{5}{4}$。 即 $N=\left\{\dots ,-\frac{1}{4},0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1,\frac{5}{4},\dots \right\}$。

通过观察列举出的点集可知，集合 $M$ 中的每一个元素都严格包含在集合 $N$ 中。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的描述法表达形式；集合包含关系的代数论证。
2. 核心方法：分母等化通分法、离散点集列举对比法。
3. 避坑指南：

• 字母 $k$ 独立性误区：部分学生容易由于两个集合使用了同一个字母 $k$，就机械地令两式的 $k$ 相等去求解方程，从而得出错误结论。必须明确，集合描述法中的变元 $k$ 是各自独立的局部绑定变量，集合 $M$ 中的 $k$ 与集合 $N$ 中的 $k$ 没有任何互等约束，应从宏观上考察整体结构域的变化范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考集合章节的标准经典传统考题，着重考查对数集构造本质的理解。
2. 结论推广： 对于数集 $A=\{x|x=n\alpha +\beta ,n\in \mathbf{Z}\}$ 与 $B=\{x|x=m\gamma +\delta ,m\in \mathbf{Z}\}$： 若 $\alpha$ 是 $\gamma$ 的整数倍（即 $\alpha =p\gamma ,p\in \mathbf{Z}$），且存在某个特定项使得两集合有交点，则必然有较稀疏的集合 $A$ 包含于较稠密的集合 $B$ 中，即 $A\subseteq B$。本题中 $\frac{1}{2}=2\times \frac{1}{4}$，完全符合该规律。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-04 单-集合的包含关系
• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1984-全国文-01 单-数集的相等关系