2002-大纲理-02 单-复数的代数运算

本题导读

本题考查复数的幂运算。核心意图在于测试学生对代数基本功的掌握，既可以通过完全立方公式直接展开计算，也可以利用特殊复数的三角形式（或单位圆旋转）直接得出结果。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 复数 ${\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)}^3$ 的值是 ()

A. $-\text{i}$　　　　　　　B. $\text{i}$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：利用完全立方公式 $(A+B{)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$ 展开，结合 ${\text{i}}^2=-1,{\text{i}}^3=-\text{i}$ 进行化简。
2. 第二步：识别出 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ 恰好是单位圆上辐角为 $60^{\circ }$（即 $\frac{\pi }{3}$）的复数。利用棣莫弗定理，其立方等价于模长立方、辐角乘以 $3$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数展开法 设复数 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$。 根据完全立方公式展开 $z^3$： $z^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^3+3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)+3\left(\frac{1}{2}\right){\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)}^3$

计算各单项式的值：

• ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$
• $3\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{8}\text{i}$
• $3\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{3}{4}{\text{i}}^2\right)=\frac{3}{2}\times \left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{9}{8}$
• ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)}^3=\frac{3\sqrt{3}}{8}{\text{i}}^3=-\frac{3\sqrt{3}}{8}\text{i}$

将各部分相加合并同类项： $z^3=\frac{1}{8}+\frac{3\sqrt{3}}{8}\text{i}-\frac{9}{8}-\frac{3\sqrt{3}}{8}\text{i}$ $z^3=\left(\frac{1}{8}-\frac{9}{8}\right)+\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}-\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)\text{i}$ $z^3=-\frac{8}{8}+0\text{i}=-1$

方法二：三角形式法（棣莫弗定理） 由于 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ 且 $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可将复数写为三角形式： $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}=\cos 60^{\circ }+\text{i}\sin 60^{\circ }$

根据棣莫弗定理，复数乘幂时辐角乘以指数： ${\left(\cos 60^{\circ }+\text{i}\sin 60^{\circ }\right)}^3=\cos (3\times 60^{\circ })+\text{i}\sin (3\times 60^{\circ })$ $=\cos 180^{\circ }+\text{i}\sin 180^{\circ }$ $=-1+\text{i}\times 0=-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数四则运算规律；虚数单位 $\text{i}$ 的高次幂周期性；复数三角表示形式。
2. 核心方法：完全立方代数展开、数形结合旋转法。
3. 避坑指南：

• ** $\text{i}$ 的平方与立方符号错漏**：在方法一中，容易在计算 ${\text{i}}^2$ 和 ${\text{i}}^3$ 时混淆正负号。必须严格遵循 ${\text{i}}^2=-1$ 和 ${\text{i}}^3=-\text{i}$。
• 特殊复数混淆：该复数极其类似于立方虚根 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$ （满足 ${\omega }^3=1$）。本题实部为正的 $\frac{1}{2}$，其立方值为 $-1$而非 $1$，切勿凭主观印象盲目选择 (D)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于方程 $x^3+1=0$ 的复数根。因 $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=0$，其两个虚根为 $x=\frac{1\pm \sqrt{3}\text{i}}{2}$。本题即为对其虚根性质的直接考查。
2. 结论推广： 对于任意形如 $z=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$ 的复数，在复平面上代表单位圆上的动点。将其进行 $n$ 次幂运算，在几何上等价于从原点出发的向量在单位圆上连续逆时针旋转 $n$ 次相同的角度 $\theta$。当 $\theta =\frac{\pi }{n}$ 时，其 $n$ 次方必恒等于 $-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式
• 1985-广东文-03 填-复数的三角形式
• 1986-全国文-01 单-复数的三角形式