2002-大纲理-01 单-圆的标准方程与圆心坐标

本题导读

本题考查平面解析几何中点到直线距离的基础计算。核心意图在于测试学生从圆的标准方程中识别圆心坐标，并熟练运用点到直线的距离公式进行代数精确计算的能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 的圆心到直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 的距离是 ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：根据圆的标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，直接读取圆心坐标 $(a,b)$。
2. 第二步：将直线的斜截式方程 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 转化为一般式方程 $Ax+By+C=0$。
3. 第三步：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 计算得出结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由圆的标准方程 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 可知： 该圆的圆心坐标为 $M(1,0)$。

将直线方程 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 化为一般式： $\sqrt{3}x-3y=0$

利用点到直线的距离公式，计算圆心 $M(1,0)$ 到该直线的距离 $d$： $d=\frac{|\sqrt{3}\times 1-3\times 0|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-3{)}^2}}$ $d=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+9}}$ $d=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}$ $d=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆心坐标的提取；点到直线距离公式的构造。
2. 核心方法：一般式转化法。
3. 避坑指南：

• 方程转化系数错误：将 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 转化为一般式时，确保各项系数 $A,B$ 的正负号和乘除运算准确。若化为 $\sqrt{3}x-3y=0$，则 $A=\sqrt{3},B=-3$；亦可化为 $x-\sqrt{3}y=0$，此时 $A=1,B=-\sqrt{3}$，计算结果完全一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考数学解析几何体系的第一题，侧重于对基础概念和单一公式记忆的直接检测。
2. 结论推广： 在极坐标系中，该直线方程可表示为 $\theta =30^{\circ }$，圆的方程可表示为 $\rho =2\cos \theta$。圆心到该直线的距离实质上等价于直角三角形中利用正弦关系求解对边长：$d=|OM|\cdot \sin 30^{\circ }=1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1982-全国文-07 解-定点定比的轨迹方程