2002-北京卷理-22 解-抽象函数与赋值法

本题导读

本题是一道抽象函数压轴题。核心意图在于测试学生利用“特殊值赋值法”探究抽象函数的基本性质（特殊值、奇偶性），并通过代数变形导出数列的通项公式，最后应用等比数列求和解决数列求和问题。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的不恒为零的函数，且对于任意的 $a,b\in \mathbf{R}$ 都满足：$f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$.

(1) 求 $f(0),f(1)$ 的值；

(2) 判断 $f(x)$ 的奇偶性，并证明你的结论；

(3) 若 $f(2)=2$，$u_n=\frac{f(2^{-n})}{n}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)，求数列 $\{u_n\}$ 的前 $n$ 项的和 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：利用赋值法。令 $a=0,b=0$ 可求得 $f(0)$；令 $a=1,b=1$ 结合函数不恒为零的条件可求得 $f(1)$。
2. 第(2)问：要判断奇偶性，需探究 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。令 $a=-1,b=x$，将问题转化为先求出 $f(-1)$ 的值，再代入抽象方程。
3. 第(3)问：

• 步一：通过给抽象方程赋值探究 $f(2^{-n})$ 与 $f(2)$ 的数量递推关系。
• 步二：求出 $u_n$ 的显式通项公式。
• 步三：观察通项的分式结构，采用裂项相消法进行求和。

✅【答案】

Success

(1) $f(0)=0$，$f(1)=0$

(2) 奇函数，证明见解析

(3) $S_n=2^{-n}-1$

✍【详细解析】

Abstract

📐 (1) 求 $f(0),f(1)$ 的值

在等式 $f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$ 中： 令 $a=0,b=0$，代入得： $f(0)=0\cdot f(0)+0\cdot f(0)=0$

令 $a=1,b=1$，代入得： $f(1)=1\cdot f(1)+1\cdot f(1)⟹f(1)=2f(1)⟹f(1)=0$

解得：$f(0)=0,f(1)=0$。

📐 (2) 判断 $f(x)$ 的奇偶性并证明

结论：$f(x)$ 是奇函数。

证明如下： 在原方程中，令 $a=-1,b=-1$，代入得： $f((-1)\cdot (-1))=(-1)f(-1)+(-1)f(-1)$ $f(1)=-2f(-1)$ 由第(1)问已得 $f(1)=0$，所以： $-2f(-1)=0⟹f(-1)=0$

为了判断奇偶性，令 $a=-1,b=x$，代入原方程得： $f(-x)=(-1)f(x)+xf(-1)$ 将 $f(-1)=0$ 代入上式简化： $f(-x)=-f(x)+x\cdot 0⟹f(-x)=-f(x)$ 由于对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒有 $f(-x)=-f(x)$，且定义域关于原点对称， 所以 $f(x)$ 是奇函数。

📐 (3) 求数列 $\{u_n\}$ 的前 $n$ 项的和 $S_n$

首先通过赋值法寻找 $f(2^{-n})$ 的一般通项规律。 在原方程中，令 $a=2,b=2^{-1}$，代入得： $f(2\cdot 2^{-1})=2f(2^{-1})+2^{-1}f(2)$ $f(1)=2f(2^{-1})+\frac{1}{2}f(2)$ 将 $f(1)=0,f(2)=2$ 代入上式： $0=2f(2^{-1})+\frac{1}{2}\cdot 2⟹2f(2^{-1})=-1⟹f(2^{-1})=-\frac{1}{2}$

继续探索，在原方程中令 $a=2^{-1},b=2^{-1}$，代入得： $f(2^{-2})=2^{-1}f(2^{-1})+2^{-1}f(2^{-1})=2\cdot \left(\frac{1}{2}f(2^{-1})\right)=f(2^{-1})=-\frac{1}{2}$ 此路径不够直观，改用更高效的通用赋值法： 令 $a=x,b=x$，有 $f(x^2)=2xf(x)$。 令 $a=2^{-n},b=2$，代入原方程： $f(2^{-n}\cdot 2)=2^{-n}f(2)+2f(2^{-n})$ $f(2^{-(n-1)})=2^{-n}\cdot 2+2f(2^{-n})=2^{1-n}+2f(2^{-n})$ 两边同除以 $2^{-(n-1)}$（即同乘以 $2^{n-1}$）或改用累加法： 由 $f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$ 可推广至： $f(2^{-n})=f\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)$ 通过数学归纳法易证：$f(x^n)=n\cdot x^{n-1}f(x)$。 将 $x=\frac{1}{2}$ 代入此推广公式中： $f\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)=n\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}f\left(\frac{1}{2}\right)$ 已算出 $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}$，代入得： $f(2^{-n})=n\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-n\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=-n\cdot 2^{-n}$

将求得的 $f(2^{-n})=-n\cdot 2^{-n}$ 代入数列 $u_n$ 的表达式中： $u_n=\frac{f(2^{-n})}{n}=\frac{-n\cdot 2^{-n}}{n}=-2^{-n}=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

由此可知，数列 $\{u_n\}$ 是首项为 $-\frac{1}{2}$，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列。 根据等比数列求和公式，前 $n$ 项和 $S_n$ 为： $S_n=\frac{-\frac{1}{2}\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{-\frac{1}{2}\left[1-2^{-n}\right]}{\frac{1}{2}}=-(1-2^{-n})=2^{-n}-1$

答案： (1) $f(0)=0,f(1)=0$； (2) $f(x)$ 是奇函数（证明见解析）； (3) $S_n=2^{-n}-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数赋值法；奇偶性代数证明；抽象函数向积导数关系的归纳拓展；等比数列求和。
2. 核心方法：特殊值代入法、数学归纳推广法。
3. 避坑指南：

• 推广公式漏掉系数 $n$：从 $f(ab)=af(b)+bf(a)$ 推广到多项乘积 $f(x^n)$ 时，必须严格遵循莱布尼茨法则形式的归纳，即 $f(x^n)=n{x}^{n-1}f(x)$。若想当然地认为 $f(x^n)=nf(x)$（混淆为对数性质函数），会导致通项计算出现根本性错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查抽象函数 $f(ab)=af(b)+bf(a)$ 的性质探究，通过赋值法确定函数值并求解数列求和。
2. 结论推广： 本题第(3)问由 $f(ab)=af(b)+bf(a)$ 结合 $f(2)=2$，可归纳得 $f(2^n)=n{2}^n$，进而由 $f(2^{-n})=-\frac{n}{2^n}$ 求得 $u_n=-\frac{1}{2^n}$，再求和即得 $S_n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性