2002-北京卷理-19 解-基本不等式

本题导读

本题通过一阶递推关系考查数列的性质与极限。核心意图在于测试学生利用均值不等式论证数列的有界性，通过作差法分析数列的单调性，以及利用极限的四则运算法则求解不确定递推极限的能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 数列 $\{a_n\}$ 由下列条件确定：$x_1=a>0,x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right),n\in \mathbf{N}$.

(1) 证明：对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge \sqrt{a}$；

(2) 证明：对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge x_{n+1}$；

(3) 若数列 $\{a_n\}$ 的极限存在，且大于零，求 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：因为 $a>0$ 且 $x_1=a>0$，可推得所有项 $x_n>0$。利用均值不等式 $A+B\ge 2\sqrt{AB}$ 直接对递推式进行下界放缩。
2. 第(2)问：采用作差法。计算 $x_n-x_{n+1}$，将其表示为关于 $x_n$ 的代数式，结合第(1)问已证的 $x_n\ge \sqrt{a}$ 判定差值的正负号。
3. 第(3)问：设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=L(L>0)$。对递推关系式两边同时取极限，利用极限的四则运算法则建立关于 $L$ 的代数方程，解出 $L$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

(3) $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\sqrt{a}$

✍【详细解析】

Abstract

📐 (1) 证明：对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge \sqrt{a}$

由 $x_1=a>0$ 及递推关系 $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$ 可知，数列的所有项满足 $x_n>0$。 当 $n\ge 2$ 时，由递推式可得： $x_n=x_{(n-1)+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}}\right)$ 因为 $x_{n-1}>0$ 且 $\frac{a}{x_{n-1}}>0$，利用基本不等式（均值不等式）得： $x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}}\ge 2\sqrt{x_{n-1}\cdot \frac{a}{x_{n-1}}}=2\sqrt{a}$ 两边同乘以 $\frac{1}{2}$ 得： $x_n=\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}}\right)\ge \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{a}=\sqrt{a}$ 所以，对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge \sqrt{a}$。

📐 (2) 证明：对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge x_{n+1}$

对相邻两项进行作差： $x_n-x_{n+1}=x_n-\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$ $=x_n-\frac{1}{2}{x}_n-\frac{a}{2x_n}$ $=\frac{1}{2}{x}_n-\frac{a}{2x_n}$ $=\frac{x_n^2-a}{2x_n}$ 由第(1)问已证结论，当 $n\ge 2$ 时，有 $x_n\ge \sqrt{a}$。 因为 $x_n>0$，所以 $x_n\ge \sqrt{a}⟹x_n^2\ge a⟹x_n^2-a\ge 0$。 同时分母 $2x_n>0$。 因此： $x_n-x_{n+1}=\frac{x_n^2-a}{2x_n}\ge 0$ 即对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge x_{n+1}$。

📐 (3) 求 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ 的值

设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=L$。由题意知极限存在且 $L>0$。 根据极限的性质，当 $n\to \infty$ 时，亦有 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_{n+1}=L$。 对递推关系式两边同时取极限： ${\lim }_{n\to \infty }{x}_{n+1}={\lim }_{n\to \infty }\left[\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\right]$ 利用极限的四则运算法则展开得： $L=\frac{1}{2}\left(L+\frac{a}{L}\right)$ 两边同乘以 $2L$： $2L^2=L^2+a$ $L^2=a$ 由于已知 $L>0$ 且 $a>0$，解得： $L=\sqrt{a}$ 所以，${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\sqrt{a}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：均值不等式 $x+\frac{a}{x}\ge 2\sqrt{a}(x>0)$ 的边界条件；数列单调性的作差比较规则；极限递推方程的建立。
2. 核心方法：均值不等式法、作差变形法、极限方程法。
3. 避坑指南：

• 均值不等式前提条件漏判定：使用均值不等式前，必须严格说明项 $x_{n-1}$ 恒大于 0，否则若变元可负，不等式方向将发生反转。
• 方程漏根：解出 $L^2=a$ 时，代数上有 $L=\pm \sqrt{a}$ 两个解。必须结合题干给出的条件 $L>0$ 或由有界性 $x_n\ge \sqrt{a}$ 舍去负根，确保结论的唯一严密性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查由递推关系给出的数列 $x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$ 的单调性、有界性与极限。
2. 结论推广： 由第(1)问知数列从第二项起有下界 $\sqrt{a}$，由第(2)问知数列从第二项起单调递减，故该数列收敛。第(3)问在递推式两边取极限，即得 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\sqrt{a}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-12 填-数列的极限
• 1987-广东理-30 填-数列的极限
• 1988-广东文-30 填-数列的极限