2002-北京卷理-17 解-无理不等式

本题导读

本题考查无理不等式与绝对值不等式的综合求解。核心意图在于测试学生对含有根式与绝对值的复合不等式进行同解变形的能力，尤其是对根式定义域限制条件的严密把握以及对两边平方等价性的逻辑判定。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 解不等式 $|\sqrt{2x-1}-x|<2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定定义域：根号下式子必须非负，即 $2x-1\ge 0$。
2. 去绝对值号：利用绝对值不等式性质 $|u|<v⟺-v<u<v$，将原式转化为不等式组。
3. 移项隔离根式：将不等式组中的 $x$ 移到两侧，使得中间仅保留算术平方根 $\sqrt{2x-1}$。
4. 两边平方化简：针对两边符号的不同情况，进行平方式同解变形，分别求解后与定义域求交集。

✅【答案】

Success

解集为 $\left[\frac{1}{2},5\right)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定定义域 由根式有意义的条件得： $2x-1\ge 0⟹x\ge \frac{1}{2}$

第二步：化简绝对值不等式 原不等式 $|\sqrt{2x-1}-x|<2$ 等价于： $-2<\sqrt{2x-1}-x<2$ 将各边同时加上 $x$，隔离根式得不等式组： $\{\begin{array}{ll}\sqrt{2x-1}>x-2& \text{(1)}\\ \sqrt{2x-1}<x+2& \text{(2)}\end{array}$

第三步：解不等式 (1) $\sqrt{2x-1}>x-2$ 结合定义域 $x\ge \frac{1}{2}$，对右侧 $x-2$ 的正负性分类讨论：

• 情况 A：当 $x-2<0$ 即 $\frac{1}{2}\le x<2$ 时，左边 $\ge 0$，右边 $<0$，不等式显然恒成立。
• 情况 B：当 $x-2\ge 0$ 即 $x\ge 2$ 时，两边均为非负数，平方得： $2x-1>(x-2{)}^2⟹2x-1>x^2-4x+4$ $x^2-6x+5<0⟹(x-1)(x-5)<0⟹1<x<5$ 与前提条件 $x\ge 2$ 取交集，得 $2\le x<5$。

综合情况 A 与情况 B，不等式 (1) 的解集为： $\left[\frac{1}{2},2\right)\cup [2,5)⟹\frac{1}{2}\le x<5$

第四步：解不等式 (2) $\sqrt{2x-1}<x+2$ 因为定义域内 $x\ge \frac{1}{2}$，所以右侧 $x+2>0$ 恒成立。两边均为非负数，直接平方得： $2x-1<(x+2{)}^2⟹2x-1<x^2+4x+4$ $x^2+2x+5>0$ 由于判别式 $\Delta =2^2-4\times 1\times 5=-16<0$，该二次三项式对任意实数 $x$ 恒大于 0。 故不等式 (2) 在定义域 $x\ge \frac{1}{2}$ 内恒成立。

第五步：求交集确定最终解集 联立不等式 (1) 与不等式 (2) 的解集，并满足定义域约束： $\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\le x<5\\ x\ge \frac{1}{2}\end{array}⟹\frac{1}{2}\le x<5$

因此，原不等式的解集为 $\left\{x|\frac{1}{2}\le x<5\right\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式基本逻辑；无理不等式 $\sqrt{f(x)}>g(x)$ 与 $\sqrt{f(x)}<g(x)$ 的同解变形法则。
2. 核心方法：区间讨论法、两边平方消根法。
3. 避坑指南：

• 遗漏定义域：求解无理不等式时，必须首先写出被开方数非负的条件（即 $2x-1\ge 0$），否则极易扩大解集范围导致失分。
• 盲目平方：在解 $\sqrt{2x-1}>x-2$ 时，若不对 $x-2$ 的正负进行讨论而直接平方，会丢失 $x-2<0$ 时根式天然大于负数的这一部分合法的解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查代数运算与逻辑推理的严密性，属于高考解答题第一题位置的经典基本功检测题。
2. 结论推广： 无理不等式的标准同解变形体系：

• 方程组 Ⅰ：$\sqrt{f(x)}<g(x)⟺\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ f(x)<[g(x){]}^2\end{array}$
• 方程组 Ⅱ：$\sqrt{f(x)}>g(x)⟺\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)<0\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}g(x)\ge 0\\ f(x)>[g(x){]}^2\end{array}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形
• 1988-广东理-14 单-不等式的同解变形
• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件