2002-北京卷理-16 填-圆的一般方程与标准方程互化

本题导读

本题考查直线与圆的综合位置关系以及几何图形面积的最值问题。核心意图在于测试学生利用切线的垂直性质，将四边形面积转化为关于心到动点距离 $|PC|$ 的函数，进而结合点到直线距离公式求解最值的能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 已知 $P$ 是直线 $3x+4y+8=0$ 上的动点，$PA,PB$ 是圆 $x^2+y^2-2x-2y-6=0$ 的两条切线，$A,B$ 是切点，$C$ 是圆心，那么四边形 $PACB$ 面积的最小值为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定圆的基本量：将圆的一般方程配方化为标准方程，求出圆心 $C$ 的坐标和半径 $r$。
2. 构建面积函数：根据对称性，四边形 $PACB$ 的面积是两个全等直角三角形 $△PAC$ 和 $△PBC$ 面积之和，即 $S=r\cdot |PA|$。
3. 转化最值条件：在直角三角形中，通过勾股定理将切线长 $|PA|$ 用含有圆心到动点距离 $|PC|$ 的代数式表示。面积最小等价于 $|PC|$ 最小。
4. 求解几何距离：动点 $P$ 在已知直线上，故 $|PC|$ 的最小值即为圆心 $C$ 到该直线的垂线段长度 $d$，代入公式计算。

✅【答案】

Success

$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：配方确定圆心与半径 将圆的一般方程 $x^2+y^2-2x-2y-6=0$ 进行配方： $(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=6+1+1$ $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=8$ 由此可得，圆心 $C$ 的坐标为 $(1,1)$，圆的半径 $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

第二步：面积公式转换 连结 $CA,CB,CP$。因为 $PA,PB$ 是圆的切线， 所以 $CA\perp PA$， $CB\perp PB$。 由对称性可知， $△PAC\cong △PBC$。 四边形 $PACB$ 的面积可表示为： $S=S_{△PAC}+S_{△PBC}=2\times \left(\frac{1}{2}\cdot |PA|\cdot r\right)=r\cdot |PA|$

在 $\text{Rt}△PAC$ 中，根据勾股定理： $|PA|=\sqrt{|PC{|}^2-r^2}$ 代入面积表达式中： $S=r\cdot \sqrt{|PC{|}^2-r^2}$

第三步：计算距离最小值以求面积最值 由于半径 $r$ 为定值，要使四边形 $PACB$ 的面积 $S$ 取得最小值，只需 $|PC|$ 取得最小值。 点 $P$ 是直线 $3x+4y+8=0$ 上的动点，所以 $|PC|$ 的最小值即为圆心 $C(1,1)$ 到该直线的距离 $d$。 根据点到直线的距离公式： $|PC{|}_{\min }=d=\frac{|3\times 1+4\times 1+8|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3+4+8|}{\sqrt{25}}=\frac{15}{5}=3$

第四步：代入求得面积最小值 将 $|PC{|}_{\min }=3$ 和 $r=\sqrt{8}$ 代入面积公式： $S_{\min }=\sqrt{8}\times \sqrt{3^2-(\sqrt{8}{)}^2}=\sqrt{8}\times \sqrt{9-8}=\sqrt{8}\times 1=2\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的几何性质（切线与半径垂直）；点到直线的距离公式应用；几何极值的函数化代换。
2. 核心方法：全等拆分法、最值目标转化法（将面积最值转化为线段长度最值）。
3. 避坑指南：

• 盲目展开切线长公式：如果盲目设出点 $P(x_0,y_0)$ 的坐标代入切线长公式进行拉格朗日乘子法或消元二次函数，会导致极其繁琐的计算。利用“直角三角形中斜边大于直角边”的几何直观，直接将问题转换为圆心到直线的垂线段长度，是解析几何中降低计算量的核心突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考数学解析几何填空题中的经典压轴题型，着重考查“用几何法简化代数运算”的数形结合思想。
2. 结论推广： 对于直线外一点 $P$ 向圆引两条切线所构成的切线四边形面积问题，若圆半径为 $r$，点到圆心距离为 $D$，则有通项公式： $S=r\sqrt{D^2-r^2}$ 当且仅当 $D$ 取到点到直线垂直距离 $d$ 时，面积取得全局极小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1979-全国文-07 解-圆的内接矩形与切线