2002-北京卷理-13 填-反三角函数的定义域与值域

本题导读

本题考查常用反三角函数值的大小比较。核心意图在于测试学生对反正弦、反余弦、反正切函数的值域范围（尤其是自变量为负数时所处的象限或区间）的熟练掌握，以及利用单调性进行精确大小判别的能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） $\arcsin \left(-\frac{2}{5}\right)$, $\arccos \left(-\frac{3}{4}\right)$, $\arctan \left(-\frac{5}{4}\right)$ 从小到大的顺序是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：通过值域初步定界（定性分析）

• 依据反三角函数的基本定义确定各个数值所处的象限或区间，直接区分出正负号，从而初步判断大小。

2. 第二步：相同区间的数值精确比较（定量分析）

• 对于落在相同负区间内的两个数值，利用其对应的正弦或正切函数在相应区间的单调性，或者利用经典的几何不等式（如当 $x<0$ 时 $\arctan x<\arcsin x$）进行严密的大小判定。

✅【答案】

Success

$\arctan \left(-\frac{5}{4}\right)<\arcsin \left(-\frac{2}{5}\right)<\arccos \left(-\frac{3}{4}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

根据反三角函数的值域定义，分别分析三个数值的范围：

1. 分析 $\arccos \left(-\frac{3}{4}\right)$： 反余弦函数 $y=\arccos x$ 的值域为 $[0,\pi ]$。 因为 $-\frac{3}{4}<0$，所以 $\arccos \left(-\frac{3}{4}\right)\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$。 这是一个正数。

2. 分析 $\arcsin \left(-\frac{2}{5}\right)$ 和 $\arctan \left(-\frac{5}{4}\right)$： 反正弦函数 $y=\arcsin x$ 的值域为 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，因为 $-\frac{2}{5}<0$，所以 $\arcsin \left(-\frac{2}{5}\right)\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$。 反正切函数 $y=\arctan x$ 的值域为 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，因为 $-\frac{5}{4}<0$，所以 $\arctan \left(-\frac{5}{4}\right)\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$。 这两者均为负数。

3. 比较两个负数的大小： 需要比较 $\alpha =\arcsin \left(-\frac{2}{5}\right)$ 与 $\beta =\arctan \left(-\frac{5}{4}\right)$ 的大小。 因为 $\alpha ,\beta \in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$，在此区间内正弦函数和正切函数均严格单调递增。 由于 $-\frac{5}{4}<-1$，可知 $\beta =\arctan \left(-\frac{5}{4}\right)<\arctan (-1)=-\frac{\pi }{4}$。 而对于 $\alpha$，因为 $-\frac{2}{5}>-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0.707$，所以 $\alpha =\arcsin \left(-\frac{2}{5}\right)>\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\pi }{4}$。

综上可得： $\beta <-\frac{\pi }{4}<\alpha$ 即 $\arctan \left(-\frac{5}{4}\right)<\arcsin \left(-\frac{2}{5}\right)$。

将三个数按从小到大的顺序排列为： $\arctan \left(-\frac{5}{4}\right)<\arcsin \left(-\frac{2}{5}\right)<\arccos \left(-\frac{3}{4}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：

• $\arcsin x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$
• $\arccos x\in [0,\pi ]$
• $\arctan x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

2. 核心方法：特殊值（如 $-\frac{\pi }{4}$）中介隔离法。
3. 避坑指南：

• 值域概念混淆陷阱：容易把反余弦的值域误记为 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，从而误认为 $\arccos \left(-\frac{3}{4}\right)$ 也是负数。必须牢记反余弦函数由于在 $[0,\pi ]$ 上单调递减，其负自变量对应的函数值位于第二象限（钝角），恒为正数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查基本初等函数中反三角函数的图象与性质，是高考填空题中考查基本功的经典题型。
2. 结论推广： 对于单调性相同的不同函数进行大小比较，通常有两条标准路径：

• 路径一（中介值法）：寻找一个能够将两者断开的已知特殊常数（本题中的 $-\frac{\pi }{4}$），通过 $A<\text{中介值}<B$ 完成论证。
• 路径二（有界性不等式）：在直角坐标系第一象限内，恒有 $\sin x<x<\tan x(x\in (0,\frac{\pi }{2}))$。将其求反函数可得，当 $x\in (0,1)$ 时，恒有 $\arctan x<\arcsin x$。同理利用奇函数性质对称到负半轴，当 $x\in (-1,0)$ 时，恒有 $\arcsin x<\arctan x$。本题由于自变量数值差异较大，直接利用特殊值作为中介更为便捷。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-30 填-函数的值域