2002-北京卷理-12 单-凸函数的定义与几何意义

本题导读

本题考查函数的凸性（数学分析中通常称之为下凸或凹函数，中学阶段常直接称为“下凸函数”）。核心意图在于测试学生将抽象的代数不等式转化为几何图形特征（割线位于弧线上方）的能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 如图所示，$f_i(x)$ ($i=1,2,3,4$) 是定义在 $[0,1]$ 上的四个函数，其中满足性质：“对 $[0,1]$ 中任意的 $x_1$ 和 $x_2$，任意 $\lambda \in [0,1]$，$f[\lambda x_1+(1-\lambda )x_2]\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$ 恒成立”的只有 ()

A. $f_1(x),f_3(x)$　　B. $f_2(x)$　　C. $f_2(x),f_3(x)$　　D. $f_4(x)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 翻译代数性质：

• $\lambda x_1+(1-\lambda )x_2$ 表示区间 $[x_1,x_2]$ 内的任意一点的横坐标。
• $f[\lambda x_1+(1-\lambda )x_2]$ 表示曲线上该点处的纵坐标。
• $\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$ 表示连接两点 $(x_1,f(x_1))$ 和 $(x_2,f(x_2))$ 的割线上对应横坐标处的纵坐标。

2. 转换几何意义：不等式 $\le$ 说明“曲线弧段上的点始终位于其对应割线的下方或交点处”。在几何上，这对应的图形特征为“下凸”（即向上开口，下凹的外观）。
3. 图象比对：观察给出的四个图象，任取两点连线，检查整段弧线是否全在连线下方。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

根据条件，目标性质为： $f[\lambda x_1+(1-\lambda )x_2]\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$ 其几何意义是：连接函数图象上任意两点的线段（割线）必定位于这两点之间函数图象的上方（或重合）。即该函数为下凸函数。

• 对于 $f_1(x)$：图象向下弯曲，开口向上。在其图象上任取两点连成一条线段，对应的这一段曲线弧全部位于该线段的下方。满足条件。
• 对于 $f_2(x)$：图象向上鼓起，开口向下（上凸）。在其图象上取两点连线，曲线弧位于线段的上方。不满足条件（它满足相反的不等式 $\ge$）。
• 对于 $f_3(x)$：图象为一条直线性段。由于是直线，任意两点连成的线段与图象本身完全重合。此时等号恒成立，即满足 $\le$ 关系。满足条件。
• 对于 $f_4(x)$：图象呈“S”型弯曲（拐点左侧上凸，右侧下凸）。如果在左侧和右侧各取一个点连成线段，曲线弧会穿过线段（一部分在上方，一部分在下方），不满足对任意两点均成立的要求。不满足条件。

综上所述，只有 $f_1(x)$ 和 $f_3(x)$ 满足该性质。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：凸函数的数学代数定义与几何弦长判定。
2. 核心方法：数形结合法（割线法）。
3. 避坑指南：

• 直线的边界情况遗漏：容易误认为 $f_3(x)$ 是直线段，应该满足等号，从而不满足“小于”号。必须明确：数学中的不等式 $\le$ 包含“小于”或“等于”两种情况，只要有一方成立即可。直线满足“恒等于”，属于特殊的、临界的下凸（和上凸）函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查凸函数（图象位于任意两点连线下方）的定义及其图象特征。
2. 结论推广： 在微积分中，对于二次可导函数 $f(x)$，其单调区间与最值通过一阶导数 $f^{\prime }(x)$ 判断，而其图象的弯曲方向（凸性）通过二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)$ 判断：

• 若在区间内 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 恒成立，则该函数为下凸函数，满足本题不等式。
• 若在区间内 $f^{\prime \prime }(x)\le 0$ 恒成立，则该函数为上凸函数，满足相反的不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性