2002-北京卷理-11 单-奇函数的图象对称性

本题导读

本题考查奇函数的图象特征与三角函数符号性质的综合应用。核心意图在于测试学生利用奇函数关于原点中心对称的性质补全负半轴图象的能力，并通过分类讨论异号乘积为负的原则求解复合不等式。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 已知 $f(x)$ 是定义在 $(-3,3)$ 上处的奇函数，当 $0<x<3$ 时，$f(x)$ 的图象如图所示，那么不等式 $f(x)\cos x<0$ 的解集是 ()

A. $\left(-3,-\frac{\pi }{2}\right)\cup (0,1)\cup \left(\frac{\pi }{2},3\right)$　　　　　B. $\left(-\frac{\pi }{2},-1\right)\cup (0,1)\cup \left(\frac{\pi }{2},3\right)$

C. $(-3,-1)\cup (0,1)\cup (1,3)$　　　　　D. $\left(-3,-\frac{\pi }{2}\right)\cup (0,1)\cup (1,3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $0<x<3$ 区间内各函数的正负性：

• 从图象直观读取 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,3)$ 区间的正负号。
• 结合余弦函数 $\cos x$ 在第一、二象限以 $\frac{\pi }{2}\approx 1.57$ 为分界点的正负号分布。

2. 利用奇偶性推出 $-3<x<0$ 区间内的符号分布：

• 依据奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$ 确定 $f(x)$ 在负半轴的符号。
• 依据偶函数性质 $\cos (-x)=\cos x$ 确定 $\cos x$ 在负半轴的符号。

3. 求和并集：将满足 $f(x)$ 与 $\cos x$ 异号（乘积小于 0）的所有区间进行合并。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

要使 $f(x)\cos x<0$ 成立，则 $f(x)$ 与 $\cos x$ 必须异号。将定义域分正、负两部分讨论。

第一步：讨论 $0<x<3$ 的区间 由已知图象可知：

• 当 $0<x<1$ 时，$f(x)<0$；
• 当 $1<x<3$ 时，$f(x)>0$；且 $f(1)=0$。

同时，由于 $\frac{\pi }{2}\approx 1.57$，在 $(0,3)$ 内：

• 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，$\cos x>0$；
• 当 $\frac{\pi }{2}<x<3$ 时，$\cos x<0$。

由此对 $f(x)\cos x$ 的正负进行区间细分：

1. 当 $0<x<1$ 时，$f(x)<0$ 且 $\cos x>0⟹f(x)\cos x<0$。符合题意。
2. 当 $1<x<\frac{\pi }{2}$ 时，$f(x)>0$ 且 $\cos x>0⟹f(x)\cos x>0$。不合题意。
3. 当 $\frac{\pi }{2}<x<3$ 时，$f(x)>0$ 且 $\cos x<0⟹f(x)\cos x<0$。符合题意。

综上，在正半轴的解集为：$(0,1)\cup \left(\frac{\pi }{2},3\right)$。

第二步：讨论 $-3<x<0$ 的区间 因为 $f(x)$ 是奇函数，其图象关于原点对称； $\cos x$ 是偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称。 若 $x\in (0,3)$ 时 $f(x)\cos x<0$，则取其相反数 $-x\in (-3,0)$ 时： $f(-x)\cos (-x)=[-f(x)]\cdot \cos x=-[f(x)\cos x]>0$ 由此可知，函数 $g(x)=f(x)\cos x$ 整体是一个奇函数。其在正负半轴上的符号呈现相反状态。

既然在正半轴满足 $<0$ 的区间为 $(0,1)\cup \left(\frac{\pi }{2},3\right)$，则根据奇函数关于原点对称的原则（即符号相反），在负半轴满足 $<0$ 的部分必定对应正半轴满足 $>0$ 的部分的对称区间。 正半轴满足 $>0$ 的区间为 $\left(1,\frac{\pi }{2}\right)$ 以及当 $x>3$（超出定义域不予考虑）。 同时当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时，对应的负区间为 $\left(-\frac{\pi }{2},0\right)$。

进一步精细映射负半轴的异号状态：

1. 当 $-3<x<-\frac{\pi }{2}$ 时，$\cos x<0$。由奇函数图象对称性，此时 $f(x)>0⟹f(x)\cos x<0$。符合题意。
2. 当 $-\frac{\pi }{2}<x<-1$ 时，$\cos x>0$。同理此时 $f(x)>0⟹f(x)\cos x>0$。不合题意。
3. 当 $-1<x<0$ 时，$\cos x>0$。此时 $f(x)<0⟹f(x)\cos x<0$。

合并正负半轴的所有有效区间，最终解集为： $\left(-3,-\frac{\pi }{2}\right)\cup (0,1)\cup \left(\frac{\pi }{2},3\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数与偶函数的乘积仍为奇函数；弧度制数值（$\frac{\pi }{2}\approx 1.57$）与整数 1、3 的大小比较。
2. 核心方法：区间划分法、函数对应变换法。
3. 避坑指南：

• 分界点数形结合误差：容易将 $\frac{\pi }{2}$ 与 $1$ 的大小顺序搞反。必须明确 $\frac{\pi }{2}\approx 1.57>1$，因此在正半轴划分时，顺序依次为 $0<1<\frac{\pi }{2}<3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查函数基本性质中的奇偶性与三角函数符号性质的抽象复合。
2. 结论推广： 设 $g(x)=f(x)\cdot h(x)$。

• 若 $f(x)$ 与 $h(x)$ 均为奇函数或均为偶函数，则 $g(x)$ 为偶函数。其解集区间关于 $y$ 轴对称，即若 $x\in (a,b)$ 是解，则 $x\in (-b,-a)$ 亦是解。
• 若 $f(x)$ 与 $h(x)$ 一奇一偶，则 $g(x)$ 为奇函数。其正负号分布关于原点相反，即若正半轴 $x\in (a,b)$ 使得 $g(x)<0$，则负半轴使得 $g(x)<0$ 的区间对应于正半轴 $g(x)>0$ 的对应翻折区间。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性