2002-北京卷理-07 单-复数的模与几何意义

本题导读

本题考查复数模的几何意义与最值问题。核心意图在于测试学生利用复数加法法则进行变量代换，或通过复平面几何直观求取距离最值的能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 已知 $z_1,z_2\in \mathbf{C}$，且 $|z_1|=1$.若 $z_1+z_2=2$，则 $|z_1-z_2|$ 的最大值是 ()

A. 6　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代数法：由已知条件 $z_1+z_2=2$ 将 $z_2$ 用 $z_1$ 表示，代入目标式转化为仅含 $z_1$ 的模的表达式，再利用 $|z_1|=1$ 和三角不等式求解。
2. 几何法：利用复平面中动点的轨迹求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件 $z_1+z_2=2$，可得 $z_2=2-z_1$。 将 $z_2$ 代入目标式 $|z_1-z_2|$： $|z_1-z_2|=|z_1-(2-z_1)|=|2z_1-2|=2|z_1-1|$

由于 $|z_1|=1$，在复平面上，$z_1$ 表示单位圆上的动点。 $|z_1-1|$ 表示单位圆上的动点到定点 $(1,0)$ 的距离。 当动点 $z_1$ 位于与 $(1,0)$ 相对的圆的另一侧，即 $z_1=-1$ 时，距离取最大值。 此时： $|z_1-1{|}_{\max }=|-1-1|=2$

因此，目标式的最大值为： $|z_1-z_2{|}_{\max }=2\times 2=4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数模的几何意义；代数消元。
2. 核心方法：将多变量转换为单变量；三角不等式 $|a-b|\le |a|+|b|$。
3. 避坑指南：

• 盲目使用三角不等式：直接应用 $|z_1-z_2|\le |z_1|+|z_2|$，由于 $z_2$ 不是定值，会带来放缩误差。必须先利用条件消去一个变量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查复数运算中的消元法及三角不等式的应用。
2. 结论推广： 对于复数 $z_1,z_2$，若 $|z_1|=R$，且 $z_1\pm z_2=C$ ( $C$ 为实数或复数)，求 $|z_1\mp z_2|$ 的最值问题。核心策略均是先代入消元，化为求 $|A{z}_1-B|$ 的形式，再利用几何意义或三角不等式 $|A||z_1|-|B|\le |A{z}_1-B|\le |A||z_1|+|B|$ 求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-19 单-复数模与平方
• 1986-上海理-18 单-复数模与平方
• 1987-全国文-17 解-复数的几何意义与运算