2002-北京卷理-05 单-参数方程与普通方程的互化

本题导读

本题考查曲线的参数方程向普通方程及极坐标方程的转化。核心意图在于测试利用同角三角函数基本关系式消参的能力，以及极坐标转化公式与二倍角公式的熟练应用。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 已知某曲线的参数方程是 $\{\begin{array}{l}x=\sec \phi \\ y=\tan \phi \end{array}$ （$\phi$ 为参数），若以原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴，长度单位不变变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ()

A. $\rho =1$　　　　B. $\rho \cos 2\theta =1$　　　　C. ${\rho }^2\sin 2\theta =1$　　　　D. ${\rho }^2\cos 2\theta =1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用同角三角函数的基本关系式 ${\sec }^2\phi -{\tan }^2\phi =1$ 消去参数 $\phi$，求得该曲线的直角坐标方程。
2. 利用直角坐标与极坐标的互化公式 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$ 代入方程，再通过二倍角余弦公式化简得出极坐标方程。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

已知曲线的参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=\sec \phi \\ y=\tan \phi \end{array}$

根据同角三角函数关系 ${\sec }^2\phi -{\tan }^2\phi =1$，将 $x$、$y$ 代入消去参数 $\phi$，得到曲线的直角坐标方程为： $x^2-y^2=1$

将直角坐标与极坐标的转换公式 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$ 代入上述直角坐标方程，得： $(\rho \cos \theta {)}^2-(\rho \sin \theta {)}^2=1$ ${\rho }^2{\cos }^2\theta -{\rho }^2{\sin }^2\theta =1$ ${\rho }^2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )=1$

应用二倍角余弦公式 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$，化简可得极坐标方程： ${\rho }^2\cos 2\theta =1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等式（割切平方关系）；坐标系互化公式（$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$）；二倍角公式。
2. 核心方法：代数恒等变形与消元法。
3. 避坑指南：

• 消参恒等式混淆：易将 $\sec$ 与 $\tan$ 的关系错记，导致得出 $x^2+y^2=1$ 等错误方程。
• 平方项漏写：在代入极坐标公式时，容易漏掉 $\rho$ 的平方项而错选 (B)。展开时须保证 $(\rho \cos \theta {)}^2={\rho }^2{\cos }^2\theta$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查解析几何中基本坐标系与参数方程的转换。该曲线在直角坐标系中为标准等轴双曲线。
2. 结论推广： 对于常见的等轴双曲线，熟记其极坐标形式可提升解题效率：

• 焦点在 $x$ 轴的等轴双曲线 $x^2-y^2=a^2$ $⟺$ 极坐标方程 ${\rho }^2\cos 2\theta =a^2$。
• 焦点在 $y$ 轴的等轴双曲线 $y^2-x^2=a^2$ $⟺$ 极坐标方程 ${\rho }^2\cos 2\theta =-a^2$。
• 渐近线为坐标轴的等轴双曲线 $xy=k$ $⟺$ 极坐标方程 ${\rho }^2\sin 2\theta =2k$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1988-上海-04 填-参数方程化普通方程
• 1995-上海理-15 填-参数方程化普通方程
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直