2002-北京卷理-04 单-球的体积公式

本题导读

本题考查球的体积与表面积计算。核心意图在于测试学生利用相似几何体比例性质快速求解的能力，即体积与半径的三次方成正比，表面积与半径的二次方成正比。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 64 个直径都为 $\frac{a}{4}$ 的球，记它们的体积之和为 $V_{甲}$，表面积之和为 $S_{甲}$；一个直径为 $a$ 的球，记其体积为 $V_{乙}$，表面积为 $S_{乙}$，则 ()

A. $V_{甲}>V_{乙},S_{甲}>S_{乙}$　　　　　　　B. $V_{甲}<V_{乙},S_{甲}<S_{乙}$

C. $V_{甲}=V_{乙},S_{甲}>S_{乙}$　　　　　　　D. $V_{甲}=V_{乙},S_{甲}=S_{乙}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取相似比：由题意可知，甲类小球的直径为乙类大球直径的 $\frac{1}{4}$，故其半径之比也为 $\frac{1}{4}$。
2. 利用比例关系计算总量：体积比等于相似比的立方，表面积比等于相似比的平方。结合甲类球的数量（64个），计算总量并与乙进行比较。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设乙球的半径为 $R_{乙}=\frac{a}{2}$，则甲球的半径为 $R_{甲}=\frac{a}{8}$。 两者的相似比（半径比）为 $k=\frac{R_{甲}}{R_{乙}}=\frac{1}{4}$。

对于体积： 单个甲球的体积 $v_{甲}=k^3{V}_{乙}={\left(\frac{1}{4}\right)}^3{V}_{乙}=\frac{1}{64}{V}_{乙}$。 甲的总体积 $V_{甲}=64\times v_{甲}=64\times \frac{1}{64}{V}_{乙}=V_{乙}$。

对于表面积： 单个甲球的表面积 $s_{甲}=k^2{S}_{乙}={\left(\frac{1}{4}\right)}^2{S}_{乙}=\frac{1}{16}{S}_{乙}$。 甲的总表面积 $S_{甲}=64\times s_{甲}=64\times \frac{1}{16}{S}_{乙}=4S_{乙}$。

综上所述，$V_{甲}=V_{乙}$ 且 $S_{甲}>S_{乙}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的表面积公式 $S=4\pi R^2$ 与体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$；相似图形的面积与体积比例规律。
2. 核心方法：相似比法（避免繁琐的代数展开计算）。
3. 避坑指南：

• 直径与半径混淆：题干给出的是“直径”，若直接将其作为半径代入公式虽不影响最终比例关系的判定，但在涉及具体数值计算时会导致严重错误，需养成审题标记的习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：立体几何基础概念题，源自生活中“大物化小”的物理几何模型。
2. 结论推广：将一个半径为 $R$ 的三维球体等体积分割成 $n^3$ 个半径为 $\frac{R}{n}$ 的小球时，总体积保持不变，而总表面积变为原来的 $n$ 倍。此几何原理在理化生物学科中被广泛应用，即“将物质粉碎可大幅增加总比表面积，从而提高反应速率或接触效率”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比
• 1986-广东文-28 填-球内切圆柱的表面积比