2002-北京卷理-02 单-平面两点间距离公式

本题导读

本题考查平面直角坐标系中两点间距离的计算与三角恒等变换。核心意图在于测试学生利用两点间距离公式建立代数式，并通过两角差的余弦公式进行化简求值的能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 在平面直角坐标系中，已知两点 $A(\cos 80^{\circ },\sin 80^{\circ })$，$B(\cos 20^{\circ },\sin 20^{\circ })$，则 $|AB|$ 的值是 ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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1. 方法一（代数法）：直接代入平面两点间距离公式 $|AB|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$，展开后利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 与两角差的余弦公式 $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ 化简求值。
2. 方法二（几何法）：识别出 $A,B$ 两点均在单位圆上，它们与原点构成的夹角为 $80^{\circ }-20^{\circ }=60^{\circ }$。在腰长为 1 且顶角为 $60^{\circ }$ 的等腰三角形中，底边 $A,B$ 的长度即为一个正三角形的边长。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数解析 由两点间距离公式可得： $|AB{|}^2=(\cos 80^{\circ }-\cos 20^{\circ }{)}^2+(\sin 80^{\circ }-\sin 20^{\circ }{)}^2$ 展开各项： $|AB{|}^2={\cos }^{2}80^{\circ }-2\cos 80^{\circ }\cos 20^{\circ }+{\cos }^{2}20^{\circ }+{\sin }^{2}80^{\circ }-2\sin 80^{\circ }\sin 20^{\circ }+{\sin }^{2}20^{\circ }$ 利用同角三角函数平方关系 ${\sin }^{2}80^{\circ }+{\cos }^{2}80^{\circ }=1$ 且 ${\sin }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}20^{\circ }=1$ 分组结合： $|AB{|}^2=({\cos }^{2}80^{\circ }+{\sin }^{2}80^{\circ })+({\cos }^{2}20^{\circ }+{\sin }^{2}20^{\circ })-2(\cos 80^{\circ }\cos 20^{\circ }+\sin 80^{\circ }\sin 20^{\circ })$ $|AB{|}^2=1+1-2\cos (80^{\circ }-20^{\circ })$ $|AB{|}^2=2-2\cos 60^{\circ }$ 将 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ 代入： $|AB{|}^2=2-2\times \frac{1}{2}=1$ 故 $|AB|=1$。

方法二：几何解析 由于 ${\cos }^{2}80^{\circ }+{\sin }^{2}80^{\circ }=1$ 且 ${\cos }^{2}20^{\circ }+{\sin }^{2}20^{\circ }=1$， 可知点 $A$ 和点 $B$ 均位于以原点 $O$ 为圆心的单位圆上，即 $|OA|=|OB|=1$。 射线 $OA$ 与 $x$ 轴正半轴夹角为 $80^{\circ }$，射线 $OB$ 与 $x$ 轴正半轴夹角为 $20^{\circ }$， 故 $△OAB$ 的顶角 $\angle AOB=80^{\circ }-20^{\circ }=60^{\circ }$。 因为 $|OA|=|OB|=1$ 且 $\angle AOB=60^{\circ }$，所以 $△OAB$ 是边长为 1 的正三角形。 因此底边 $|AB|=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两点间距离公式；两角差的余弦公式；单位圆的三角函数定义。
2. 核心方法：代数展开结合法、数形结合（单位圆几何性质法）。
3. 避坑指南：

• 代数展开符号错误：在展开完全平方式时，注意交叉项 $-2\cos 80^{\circ }\cos 20^{\circ }$ 和 $-2\sin 80^{\circ }\sin 20^{\circ }$ 的负号，提取公因数 $-2$ 后括号内应为加号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查三角函数在解析几何坐标体系中的应用，通过将点的坐标参数化来考查三角恒等变换公式。
2. 结论推广： 在平面直角坐标系中，任意两点 $P_1(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ 和 $P_2(\cos \beta ,\sin \beta )$ 之间的距离公式恒可化简为： $|P_1{P}_2|=\sqrt{2-2\cos (\alpha -\beta )}=2\left|\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\right|$ 此公式实质上是余弦定理在单位圆中的代数坐标体现形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-04 单-反三角函数求值
• 2007-四川卷理-17 解-三角函数给值求角
• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形