2002-北京卷理-01 单-集合的并集运算

本题导读

本题考查集合的并集运算及集合元素的确定。核心意图在于测试学生根据并集结果逆向推导未知集合必含元素与可选元素的能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 满足条件 $M\cup \{1\}=\{1,2,3\}$ 的集合 $M$ 的个数是 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定必含元素：由并集结果 $M\cup \{1\}=\{1,2,3\}$ 可知，集合 $M$ 必须包含原集合 $\{1\}$ 中没有的元素，即必含 $2$ 和 $3$。
2. 确定可选元素：并集结果中的元素 $1$ 可由已知集合 $\{1\}$ 提供，故集合 $M$ 可含元素 $1$，也可不含。枚举所有可能并计数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $M\cup \{1\}=\{1,2,3\}$， 故集合 $M$ 必定含有元素 $2,3$。 对于元素 $1$，由于集合 $\{1\}$ 已提供，故 $M$ 中可以有元素 $1$，也可以没有元素 $1$。 因此，满足条件的集合 $M$ 共有两种情况： $M_1=\{2,3\}$ $M_2=\{1,2,3\}$ 满足条件的集合 $M$ 的个数为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合并集的定义。
2. 核心方法：元素枚举法。
3. 避坑指南：

• 漏解陷阱：容易只考虑 $M=\{2,3\}$ 这一种互斥情况，忽略了集合并集运算中元素的重复性（即 $M$ 也可以包含 $1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高中数学最基础的集合运算概念题，考查集合方程的解。
2. 结论推广： 对于一般集合方程 $A\cup X=B$（前提 $A\subseteq B$），未知集合 $X$ 的构造规律为：

• 必含元素集：$B\setminus A$
• 可选元素集：$A$ 的任意子集 故满足条件的集合 $X$ 的总数为 $2^{|A|}$（$|A|$ 为集合 $A$ 的元素个数）。 本题中 $A=\{1\}$，则解的个数为 $2^{|\{1\}|}=2^1=2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1986-上海文-15 单-集合的子集个数
• 1987-上海-25 解-集合的运算