2002-北京卷文-08 单-二倍角公式求值

本题导读

本题考查二倍角公式，以及万能公式的运用。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） 若 $\frac{\cot \theta -1}{2\cot \theta +1}=1$，则 $\cos 2\theta$ 的值为()

A. $\frac{3}{5}$　　　　　　B. $-\frac{3}{5}$　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$　　　　　　D. $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解方程得 $\cot \theta =-2$。
2. 用 $\cos 2\theta =\frac{{\cot }^2\theta -1}{{\cot }^2\theta +1}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{\cot \theta -1}{2\cot \theta +1}=1$ 得 $\cot \theta -1=2\cot \theta +1$，$\cot \theta =-2$．于是 $\cos 2\theta =\frac{{\cot }^2\theta -1}{{\cot }^2\theta +1}=\frac{4-1}{4+1}=\frac{3}{5}$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角公式求值

核心方法：由 $\frac{\cot \theta -1}{2\cot \theta +1}=1$ 得 $\cot \theta =-2$，$\cos 2\theta =\frac{{\cot }^2\theta -1}{{\cot }^2\theta +1}=\frac{3}{5}$

避坑指南：万能公式由 $\cot \theta$ 求 $\cos 2\theta$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二倍角公式

结论推广：一般地，$\cos 2\theta =\frac{{\cot }^2\theta -1}{{\cot }^2\theta +1}$

方法推广：万能公式代换

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-02 单-二倍角正切求值
• 2003-天津文-04 单-二倍角正切求值
• 2004-全国卷IV文-17 解-和角与二倍角求值