本题导读
本题是一道关于组合数概念推广的创新压轴题。核心意图在于测试学生突破传统组合数“上标不大于下标且均为非负整数”的思维定势，将新定义的代数多项式结构作为研究对象，考查对性质的等价变形、代数证明以及在整数集 上的整除性逻辑推理能力。
📌【题干】
Question
（2002年上海卷(理)） 规定 ，其中 ， 是正整数，且 ，这是组合数 ( 是正整数，且 ) 的一种推广.
(1) 求 的值.
(2) 组合数的两个性质：① ；② 是否都能推广到 (， 是正整数) 的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3) 已知组合数 是正整数，证明：当 ， 是正整数时， .
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问逻辑：严格依照新定义公式，将 代入。分子为从 开始连续递减的 5 个实数的乘积，分母为 。通过代数约分计算出确切的整数值。
- 第二问逻辑：
- 考察性质 ①：传统公式右下角包含 。若推广到 ，由于 可以是负数或实数，作为新定义的上标（必须是正整数或 0）的 将失去意义，故性质 ① 不能推广。
- 考察性质 ②：性质中的上标 和 均为确定的正整数，只需将底数 替换为实数 。利用定义式分别展开 与 ，通分提取公因式进行代数多项式化简，验证其是否等价于 。
- 第三问逻辑：由于 ，可将 按照正、负及零分类讨论：
- 当 时，属于传统组合数，已知其为正整数，自然属于 ；
- 当 时，分子中必定包含一项为 0，整式乘积为 0，属于 ；
- 当 时，设 。代入定义式中提取负号，将其转化为关于正整数 的标准组合数形式，从而完成属于整数集的严密论证。
✅【答案】
Success
(1)
(2) 性质 1 不能推广；性质 2 能推广为 ，证明见解析
(3) 证明见解析
✍【详细解析】
Abstract
解：（1）求 的值
由新定义公式，分子从 开始连续递减相乘 5 个数，分母为 ：
分子共有 5 个负数相乘，整体结果为负。提取负号并进行约分化简： 由于 ，分子分母消去 15； 由于 ，：
解：（2）辨析性质 ① 与性质 ② 的推广性
对于性质 ①：不能推广。 理由：在性质 ① 中，要求新组合数的上标 必须为非负整数。当 时， 通常不再是整数（例如 或 时），这导致代数式 根据定义式无意义。因此性质 ① 不能推广。
对于性质 ②：可以推广。 推广形式为： (, 是正整数) 证明如下： 依据新定义，分别展开等式左侧的两项：
为了将两式相加，对第二项的分母进行通分，分子分母同乘以 ：
将两项合并，并提取公因式 ：
将 调整到分子乘积序列的最前端，整理可得：
对照新定义公式，该式恰好是从 开始连续递减 个实数的乘积除以 ，即等于 。 由此得证： 恒成立。
🗂（3）证明：当 ， 是正整数时，
证明：根据已知，对任意正整数 ，传统组合数 均是正整数。 现在对 的取值进行分类讨论：
情况 ①：当 时 由于 均为正整数且 ，此时 退化为标准的传统组合数。根据已知条件， 必然是正整数，故 。
情况 ②：当 时 由定义可知， 分子的连乘序列为： 因为 是小于 的非负整数，在从 递减到 的连续整数序列中，必然包含整数 0（即当递减到某一项时， ）。 因此分子乘积恒为 0，可得： 因为 ，故 。
情况 ③：当 时 令 ，因为 是负整数，所以 是正整数（）。 代入定义式中：
分子共有 个因式，将每个因式中的负号（）全部提取到最外侧：
将分子乘积序列调整为标准递减形式重新排列：
观察上式中的分式部分，它是以 为起始数，连续递减 个正整数的乘积除以 。 根据传统组合数定义，该分式等价于： 因为 且 均为正整数，所以其下标 属于完全合法的传统标准组合数。 由题设可知 。 因此：
综上所述，无论 为何种整数，均满足 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：代数结构的泛化推演；连续 个整数的乘积必能被 整除的数论性质。
- 核心方法：多项式恒等变形法、分类讨论法。
- 避坑指南：
- 第三问分类讨论不完整：很多学生只能想到 的情形，容易遗漏 以及 为负整数的严密逻辑分段。在面对符号不确定的整数集 证明时，“正、负、零”三段式分类是确保不失分的常规准则。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题为2002年上海高考理科卷的压轴第二十二题，考查组合数 的推广定义与新定义下的性质探究。
- 结论推广： 本题第二问证明的 是组合数性质 在实数下标下的推广；第三问证明当 为整数时 仍为整数，体现了组合数定义的封闭性。
🔗【关联脉络】
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