2002-上海卷理-19 解-二次函数在闭区间上的最值

本题导读

本题考查含参数二次函数在闭区间上的单调性与最值问题。核心意图在于测试学生利用配方法确定二次函数的对称轴，并通过分析对称轴与给定闭区间的相对位置关系，求解函数最值及满足单调性条件的参数范围。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^2+2x\cdot \tan \theta -1$， $x\in [-1,\sqrt{3}]$，其中 $\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

(1) 当 $\theta =-\frac{\pi }{6}$ 时，求函数 $y=f(x)$ 的最大值与最小值.

(2) 求实数 $\theta$ 的取值范围，使 $y=f(x)$ 在区间 $[-1,\sqrt{3}]$ 上是单调函数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问逻辑：将 $\theta =-\frac{\pi }{6}$ 代入计算出 $\tan \theta =-\frac{\sqrt{3}}{3}$，得到确定的二次函数解析式。通过配方法找出顶点（对称轴位置），判断对称轴是否落在区间 $[-1,\sqrt{3}]$ 内。利用二次函数的图象特征，计算顶点及区间端点值以确定最大值与最小值。
2. 第二问逻辑：对原解析式进行配方，得到对称轴方程为 $x=-\tan \theta$。二次函数在闭区间上是单调函数的充要条件是对称轴完全位于该闭区间的外部（或恰好在边界上）。因此，对称轴应满足 $-\tan \theta \le -1$ 或 $-\tan \theta \ge \sqrt{3}$。解这两个不等式组，并结合 $\theta$ 的已知范围求出最终区间。

✅【答案】

Success

(1) 最大值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$，最小值为 $-\frac{4}{3}$

(2) $\theta$ 的取值范围为 $\left(-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{3}\right]\cup \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

对函数 $f(x)=x^2+2x\cdot \tan \theta -1$ 进行配方，得到其标准型方程： $f(x)=(x+\tan \theta {)}^2-{\tan }^2\theta -1$ 该二次函数图象开口向上，其对称轴方程为： $x=-\tan \theta$

解：（1）当 $\theta =-\frac{\pi }{6}$ 时，求最值

将 $\theta =-\frac{\pi }{6}$ 代入正切函数，得： $\tan \theta =\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

此时函数的解析式为： $f(x)=x^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-1={\left(x-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2-\frac{4}{3}$

该二次函数的对称轴为 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 因为 $-1\le \frac{\sqrt{3}}{3}\le \sqrt{3}$，即对称轴落在了已知区间 $[-1,\sqrt{3}]$ 的内部。

• 求最小值： 由于开口向上且对称轴在区间内，函数在对称轴顶点处取得全区间上的绝对最小值： $f(x{)}_{\min }=f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{4}{3}$

• 求最大值： 二次函数在区间端点处的数值取决于端点到对称轴的距离。 比较两个端点到对称轴 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的距离： 距离一： $\left|\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right|=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx \frac{2\times 1.732}{3}\approx 1.155$ 距离二： $\left|-1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right|=1+\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 1+0.577=1.577$ 因为 $\left|-1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right|>\left|\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right|$，说明左端点 $x=-1$ 距离对称轴更远，故在 $x=-1$ 处取得最大值： $f(x{)}_{\max }=f(-1)=(-1{)}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}\times (-1)-1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}-1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

综上所述，当 $\theta =-\frac{\pi }{6}$ 时，函数的最大值为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$，最小值为 $-\frac{4}{3}$。

解：（2）求 $\theta$ 的取值范围使函数在给定区间上单调

要使开口向上的二次函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,\sqrt{3}]$ 上是单调函数，其对称轴 $x=-\tan \theta$ 必须位于该区间的左侧外或右侧外（含边界）。

由此建立关于对称轴的分类不等式组： $-\tan \theta \le -1\text{或}-\tan \theta \ge \sqrt{3}$

分别化简上述两个不等式：

1. 由 $-\tan \theta \le -1$ 得： $\tan \theta \ge 1$
2. 由 $-\tan \theta \ge \sqrt{3}$ 得： $\tan \theta \le -\sqrt{3}$

结合已知条件 $\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 以及正切函数的单调性进行求解：

• 当 $\tan \theta \ge 1$ 时，解得： $\frac{\pi }{4}\le \theta <\frac{\pi }{2}$
• 当 $\tan \theta \le -\sqrt{3}$ 时，解得： $-\frac{\pi }{2}<\theta \le -\frac{\pi }{3}$

求这两个区间的并集，得到实数 $\theta$ 的取值范围为： $\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{3}\right]\cup \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数区间最值的“轴距判定法”（离对称轴越远，开口向上的函数值越大）；二次函数区间单调性的边界控制条件（轴在区间外）。
2. 核心方法：配方法、分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 单调性边界等号漏判定：在列出单调性条件时，对称轴取到区间的端点（如 $-\tan \theta =-1$）时，函数在区间内部依然是严格单调的。部分学生容易漏掉等号，导致写成开区间而失分。
• 正切函数象限角混淆：在由 $\tan \theta \le -\sqrt{3}$ 求解 $\theta$ 时，要注意开闭区间的端点控制， $-\frac{\pi }{2}$ 侧由于正切函数无定义必须用开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第十九题，属于典型的“二次函数为壳，三角函数为芯”的复合函数常考大题。
2. 结论推广： 对于所有形如 $f(x)=x^2+2bx+c$ 在闭区间 $[M,N]$ 上的单调性命题，其通解充要条件恒为： $-b\le M\text{或}-b\ge N$ 若系数 $b$ 是关于另一变元 $\theta$ 的函数（即 $b=g(\theta )$），则可通过复合不等式系统 $g(\theta )\ge -M$ 或 $g(\theta )\le -N$ 将原空间问题直接一元化降维为初等不等式求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-30 填-函数的值域