2002-上海卷理-14 单-空间点线面的位置关系

本题导读

本题考查立体几何中线面、面面平行与垂直的逻辑因果关系判定。核心意图在于测试学生对空间线面位置关系判定定理与性质定理的熟练程度，以及利用立方体等经典空间模型辨析伪命题的思辨能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)）已知直线 $l$ 、 $m$ ，平面 $α$ 、 $β$ ，且 $l ⊥ α$ ， $m \subset β$ ，给出下列四个命题： ① 若 $α ∥ β$ ，则 $l ⊥ m$ ； ② 若 $l ⊥ m$ ，则 $α ∥ β$ ； ③ 若 $α ⊥ β$ ，则 $l ∥ m$ ； ④ 若 $l ∥ m$ ，则 $α ⊥ β$ . 其中正确命题的个数是()

A. 1 个　　　　　B. 2 个　　　　　C. 3 个　　　　　D. 4 个

🔍【思路分析】

破题导航

前提条件梳理：始终成立的条件为：直线 $l$ 垂直于平面 $α$ （ $l ⊥ α$ ），直线 $m$ 在平面 $β$ 内（ $m \subset β$ ）。

分项逻辑辨析：

对于 ①：由 $α ∥ β$ 且 $l ⊥ α$ ，可得 $l ⊥ β$ 。再结合 $m \subset β$ ，利用线面垂直的定义可判定 $l$ 与 $m$ 的垂直关系。

对于 ②、③：通过构建长方体模型作为常规反例网格，寻找不满足平行或垂直的特例状态。

对于 ④：由 $l ∥ m$ 且 $l ⊥ α$ 可得 $m ⊥ α$ 。再结合 $m \subset β$ ，利用面面垂直的判定定理确定两平面位置关系。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

对四个命题逐一进行严密的定理推导与反例论证：

命题 ①：若 $α ∥ β$ ，则 $l ⊥ m$ 。

证明：因为直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，且平面 $α ∥$ 平面 $β$ ，根据“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，必垂直于另一个”的性质定理，可得： $l ⊥ β$ 又因为直线 $m \subset$ 平面 $β$ ，根据线面垂直的定义（直线垂直于平面内的任意一条直线），必然有： $l ⊥ m$ 故命题 ① 正确。

命题 ②：若 $l ⊥ m$ ，则 $α ∥ β$ 。

辨析：在长方体模型中，设平面 $α$ 为上底面，则满足 $l ⊥ α$ 的直线 $l$ 为某条竖直侧棱。若平面 $β$ 为包含某条水平侧棱 $m$ 的竖直侧面，此时显然有 $l ⊥ m$ 。但此时平面 $α$ 与平面 $β$ 互相垂直（ $α ⊥ β$ ），并不平行。故命题 ② 错误。

命题 ③：若 $α ⊥ β$ ，则 $l ∥ m$ 。

辨析：同理利用长方体模型。设平面 $α$ 为上底面，直线 $l$ 为竖直侧棱，满足 $l ⊥ α$ 。设平面 $β$ 为前方侧面，满足 $α ⊥ β$ 。在平面 $β$ 内，可以取一条水平向的底边作为直线 $m$ ，此时 $m \subset β$ 。此时直线 $l$ 与直线 $m$ 互相垂直（ $l ⊥ m$ ）或异面垂直，并不平行。故命题 ③ 错误。

命题 ④：若 $l ∥ m$ ，则 $α ⊥ β$ 。

证明：因为直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，且直线 $l ∥$ 直线 $m$ ，根据“平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面”的性质定理，可得： $m ⊥ α$ 又因为直线 $m \subset$ 平面 $β$ ，根据面面垂直的判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直），由 $m ⊥ α$ 且 $m \subset β$ 可直接推导得出： $β ⊥ α ⟺ α ⊥ β$ 故命题 ④ 正确。

综合上述，正确的命题有 ① 和 ④，共计 2 个。

正确答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的性质（ $l ⊥ β \land m \subset β ⟹ l ⊥ m$ ）；面面垂直的判定（ $m ⊥ α \land m \subset β ⟹ β ⊥ α$ ）。

核心方法：定理推演法、长方体反例排除法。

避坑指南：

空间想象多维性缺失：在辨析命题 ③ 时，学生容易在直觉上误认为平面 $β$ 垂直于 $α$ ，则 $β$ 内的直线 $m$ 必须和 $α$ 的垂线 $l$ 平行。忽略了平面 $β$ 内部还存在与交线平行的非下垂方向直线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题为上海高考理科数学的第十四题，属于立体几何选择题的核心传统题型，侧重对空间位置关系文字命题的符号化逻辑化考查。

结论推广：从向量代数的现代几何视角来看：

直线 $l ⊥ α$ 意味着 $l$ 的方向向量 $d_{l}$ 即为平面 $α$ 的法向量 $n_{α}$ ；

直线 $m \subset β$ 意味着 $m$ 的方向向量 $d_{m}$ 与平面 $β$ 的法向量 $n_{β}$ 垂直（ $d_{m} \cdot n_{β} = 0$ ）。代入命题①： $α ∥ β ⟹ n_{α} ∥ n_{β} ⟹ d_{l} ∥ n_{β}$ 。因 $d_{m} ⊥ n_{β}$ ，故 $d_{l} ⊥ d_{m} ⟹ l ⊥ m$ 。利用空间向量基底的内积与外积，可以将所有立体几何复杂的面线文字命题降维转换为线性的向量代数乘积逻辑，实现无死角判定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

1963-全国-04 解-二面角内垂线平面垂直棱

1981-全国文-08 解-正四棱柱截面与对角面的垂直

1987-广东文-22 单-面面平行的判定

∑ ( Math )

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2002-上海卷理-14 单-空间点线面的位置关系

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