2002-上海卷理-13 单-复数的几何意义

本题导读

本题考查复数在复平面内的几何表示。核心意图在于测试学生将复平面中的几何图形（圆盘与半平面相交的弓形区域）转化为复数模与虚部代数不等式组的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是()

A. $\left\{z||z|=1,\frac{\pi }{6}\le \arg z\le \frac{5\pi }{6},z\in \mathbf{C}\right\}$

B. $\left\{z||z|\le 1,\frac{\pi }{6}\le \arg z\le \frac{5\pi }{6},z\in \mathbf{C}\right\}$

C. $\left\{z||z|=1,\text{Im }z\ge \frac{1}{2},z\in \mathbf{C}\right\}$

D. $\left\{z||z|\le 1,\text{Im }z\ge \frac{1}{2},z\in \mathbf{C}\right\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（分析圆盘边界）：阴影部分位于以原点为圆心、1为半径的圆内及其边界上，这表明复数 $z$ 的模长满足 $|z|\le 1$。由此可排除表示圆周边界的 A 和 C 选项。
2. 第二步逻辑（分析直线边界）：阴影部分的下下方边界是一条水平线段，对应 $y=0.5$。在复平面中，横坐标 $x$ 对应实部 $\text{Re }z$，纵坐标 $y$ 对应虚部 $\text{Im }z$。阴影区域位于该直线上方（含边界），即满足 $y\ge 0.5⟺\text{Im }z\ge \frac{1}{2}$。组合两个不等式即可锁定正确选项。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设复数 $z=x+yi(x,y\in \mathbf{R})$，对应的点在复平面中的坐标为 $(x,y)$。

第一步：分析圆盘区域 如图所示，阴影部分是一个立体的面状弓形区域，且被限制在单位圆内部及其圆周边界上。 根据复数模的几何意义，点 $(x,y)$ 到原点的距离不大于 1： $\sqrt{x^2+y^2}\le 1⟹|z|\le 1$ 若条件为 $|z|=1$，则仅代表圆周线本身，不能表示面状区域，故排除 A、C。

第二步：分析水平线段区域 阴影部分的下方截断边界是一条平行于实轴（$x$ 轴）的水平线段，图中标注的截距为 $0.5$。 该边界直线的几何方程为： $y=\frac{1}{2}$ 阴影区域完全位于该直线的上方（含边界），因此图形上所有点的纵坐标满足： $y\ge \frac{1}{2}$ 根据复数虚部的几何定义，复数 $z$ 的虚部 $\text{Im }z$ 对应复平面内点的纵坐标 $y$，即： $\text{Im }z\ge \frac{1}{2}$

第三步：求交集确定集合 将上述两个几何约束条件联立为不等式组，即： $\{\begin{array}{l}|z|\le 1\\ \text{Im }z\ge \frac{1}{2}\end{array}$

对照选项，D 选项的集合表达式与此完全一致。

正确答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单位圆盘的复数模不等式表达 $|z|\le R$；水平直线半平面的虚部不等式表达 $\text{Im }z\ge c$。
2. 核心方法：数形结合法。
3. 避坑指南：

• 辐角范围的图形混淆：B 选项中用辐角 $\frac{\pi }{6}\le \arg z\le \frac{5\pi }{6}$ 配合 $|z|\le 1$ 限制区域。该不等式组在复平面内表示的是一个扇形区域（两条从原点出发的射线与圆弧围成的扇面），其边界是斜射线而非图中的水平弦线，属于概念混淆陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第十三题（选择题第一题），属于复数基础概念的图形化考查，重点测试复平面上点集与复数运算的一一对应关系。
2. 结论推广： 在复平面中，常见基础几何图形的复数不等式方程映射具有高度对称性：

• 以 $z_0$ 为圆心、 $R$ 为半径的非圆盘区域表示为： $|z-z_0|\le R$；
• 垂直于实轴的竖直平带（垂直线右侧）表示为： $\text{Re }z\ge a$；
• 平行于实轴的水平平带（水平线上侧）表示为： $\text{Im }z\ge b$。 通过熟练掌握这三类基础构件的对偶映射，可实现对复平面内任意规则凸多边形或弓形区域的快速代数方程重构。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-19 单-复数模与平方
• 1986-上海理-18 单-复数模与平方
• 1987-全国文-17 解-复数的几何意义与运算