2002-上海卷理-08 填-曲线的参数方程

本题导读

本题考查参数方程向普通方程的转化及抛物线焦点坐标的求解。核心意图在于测试学生利用代入消元法消去参数 $t$，将参数方程化为标准抛物线的平移型方程，并准确根据标准抛物线的焦点性质求出目标焦点坐标的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 曲线 $\{\begin{array}{l}x=t^2-1\\ y=2t+1\end{array}$ ($t$ 为参数) 的焦点坐标是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：利用解析几何中消去参数的常规策略，由 $y=2t+1$ 变形解出参数 $t=\frac{y-1}{2}$。
2. 第二步逻辑：将 $t$ 的代数式代入到 $x=t^2-1$ 中，整理得到关于 $x$ 和 $y$ 的普通方程，识别出该曲线为开口向右、顶点经过平移的抛物线。
3. 第三步逻辑：对照标准抛物线 $y^2=2px$ 的焦点特征（$\left(\frac{p}{2},0\right)$），结合平移变换规律，求出该抛物线平移后的实际焦点坐标。

✅【答案】

Success

$(0,1)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：消去参数 $t$ 求普通方程 已知曲线的参数方程为： $\{\begin{array}{ll}x=t^2-1& \text{(1)}\\ y=2t+1& \text{(2)}\end{array}$

由方程 ② 变形，解得参数 $t$ 的代数式： $2t=y-1⟹t=\frac{y-1}{2}$

将 $t=\frac{y-1}{2}$ 代入方程 ① 中： $x={\left(\frac{y-1}{2}\right)}^2-1$

展开并整理，将常数项移至左侧： $x+1=\frac{(y-1{)}^2}{4}$ $(y-1{)}^2=4(x+1)$

第二步：对照标准型求基础几何量 方程 $(y-1{)}^2=4(x+1)$ 是一个标准抛物线经平移后的方程。 它是由基础标准抛物线 $y^2=4x$ 通过坐标平移得到的：

• 向左平移 1 个单位（$x\to x+1$）
• 向上平移 1 个单位（$y\to y-1$）

对于未平移的基础标准抛物线 $y^2=4x$：

• 其开口向右，顶点在原点 $(0,0)$
• 对应参数 $2p=4⟹p=2$，半焦距 $\frac{p}{2}=1$
• 基础焦点坐标为 $F_0(1,0)$

第三步：计算平移后的实际焦点坐标 根据图形整体平移的几何规律，实际抛物线的焦点坐标应由基础焦点 $F_0(1,0)$ 进行相同的平移变换（横坐标减 1，纵坐标加 1）： $x_F=1-1=0$ $y_F=0+1=1$

因此，该曲线平移后的实际焦点坐标为 $(0,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：代入消参的基本代数技巧；平移型抛物线方程 $(y-k{)}^2=2p(x-h)$ 的顶点与焦点几何映射。
2. 核心方法：代入消元法、图形平移法。
3. 避坑指南：

• 平移方向看反陷阱：部分学生容易由于混淆“左加右减，上加下减”在自变量变元上的几何含义，将 $x+1$ 误判为向右平移，或将 $y-1$ 误判为向下平移，从而错误计算为 $(1+1,0-1)=(2,-1)$。
• 焦参数 $p$ 的判定粗心：在由 $4(x+1)$ 判定 $\frac{p}{2}$ 时，容易漏掉系数而将 $2p=4⟹\frac{p}{2}=1$ 误算为 $\frac{p}{2}=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第八题，属于将二元二次曲线参数方程转化为经典解析几何圆锥曲线的标准基础题型。
2. 结论推广： 对于所有形如 $\{\begin{array}{l}x=a\cdot t^2+h\\ y=b\cdot t+k\end{array}(a,b\ne 0)$ 的通用参数方程： 其对应的普通方程恒为开口沿 $x$ 轴方向的抛物线： $(y-k{)}^2=\frac{b^2}{a}(x-h)$ 其对应的焦参数 $2p=\frac{b^2}{a}$，实际焦点坐标可以直接通过通用公式一元化表示为： $\left(h+\frac{b^2}{4a},k\right)$ 代入本题参数 $a=1,b=2,h=-1,k=1$ 验证： $\left(-1+\frac{2^2}{4\times 1},1\right)=(-1+1,1)=(0,1)$ 通过建立此模型通式，可以在考试中实现直接口算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1989-上海-20 单-参数方程与曲线
• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程