2002-上海卷理-06 填-圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题考查圆的切线方程及两条切线夹角的计算。核心意图在于测试学生利用圆心、切点与圆外点构成的直角三角形，结合点两点间距离公式求出半角的三角函数值，并运用二倍角公式求解两条切线夹角正切值的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 已知圆 $(x+1{)}^2+y^2=1$ 和圆外一点 $P(0,2)$，过点 $P$ 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：由圆的标准方程确定圆心坐标 $M(-1,0)$ 和半径 $R=1$。利用两点间距离公式计算圆心 $M$ 到圆外点 $P(0,2)$ 的距离 $d=|MP|$。
2. 第二步逻辑：设两条切线的夹角为 $\theta$，则根据对称性，圆心、切点与点 $P$ 构成的直角三角形中，半角为 $\frac{\theta }{2}$。利用正弦定义 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{R}{d}$ 求出半角的三角函数值，进而得到 $\tan \frac{\theta }{2}$。
3. 第三步逻辑：运用二倍角正切公式 $\tan \theta =\frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}$ 计算两条切线夹角的正切值。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求圆的标准参数及关键距离 由圆的方程 $(x+1{)}^2+y^2=1$ 可知：

• 圆心坐标为 $M(-1,0)$
• 圆的半径为 $R=1$

已知圆外一点为 $P(0,2)$，利用两点间距离公式计算圆心 $M$ 到点 $P$ 的距离 $d$： $d=|MP|=\sqrt{(0-(-1){)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$

第二步：求切线夹角半角的正切值 设过点 $P$ 的两条切线夹角为 $\theta$。 连接圆心 $M$ 与点 $P$，根据圆的切线对称性可知， $MP$ 平分夹角 $\theta$。 设其中一个切点为 $A$，则 $△PAM$ 是以 $A$ 为直角顶点的直角三角形，其中：

• 对边（半径） $MA=R=1$
• 斜边 $MP=d=\sqrt{5}$
• 夹角 $\angle MPA=\frac{\theta }{2}$

在 $\text{Rt}△PAM$ 中，利用正弦定义： $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{MA}{MP}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

根据同角三角函数基本关系，求出邻边 $PA$ 的长或直余弦值： $\cos \frac{\theta }{2}=\sqrt{1-{\sin }^2\frac{\theta }{2}}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

由此可得半角的正切值为： $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\cos \frac{\theta }{2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{1}{2}$

第三步：利用二倍角公式求夹角的正切值 运用二倍角正切公式求 $\tan \theta$： $\tan \theta =\frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}=\frac{2\times \frac{1}{2}}{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的切线几何性质（直角三角形结构）；二倍角公式的代数应用。
2. 核心方法：几何构造法、二倍角展开法。
3. 避坑指南：

• 斜率解析法耗时陷阱：部分学生习惯设切线方程为 $y-2=kx$，利用圆心到直线的距离等于半径（$d=R$）列方程求出两个斜率 $k_1,k_2$，再利用夹角公式 $\tan \theta =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|$ 求解。由于需要处理可能存在的无斜率竖直切线情况且计算繁琐，远没有几何直角三角形法高效。
• 钝角夹角取绝对值混淆：两条直线的夹角在解析几何中通常定义在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 区间，若用几何法算出的 $\tan \theta$ 为负值需取绝对值，本题算出的 $\frac{4}{3}>0$，说明夹角本身即为锐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第六题，重点考查平面解析几何中“能用几何性质就不用代数方程”的精简算法原则。
2. 结论推广： 对于任意圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 和圆外一点 $P(x_1,y_1)$，设圆心到点 $P$ 的距离为 $d$，则两条切线夹角 $\theta$ 的正切值满足通用公式： $\tan \theta =\frac{2R\sqrt{d^2-R^2}}{d^2-2R^2}$ 代入本题数据 $R=1,d=\sqrt{5}⟹d^2=5$： $\tan \theta =\frac{2\times 1\times \sqrt{5-1}}{5-2\times 1^2}=\frac{2\times 2}{3}=\frac{4}{3}$ 此公式可用于任意圆外点切线夹角的快速口算与复核。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1982-全国文-07 解-定点定比的轨迹方程