2002-上海卷理-04 填-正四棱锥的几何性质

本题导读

本题考查正四棱锥中侧面与底面所成二面角的计算。核心意图在于测试学生利用正四棱锥的对称性，结合体积公式求出高，并通过构造由“高、斜高、底面中心到边的距离”组成的直角三角形，求解二面角平面角的大小。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 若正四棱锥的底面边长为 $2\sqrt{3}\text{ cm}$，体积为 $4{\text{ cm}}^3$，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：利用正四棱锥的底面边长 $a=2\sqrt{3}$ 计算底面积 $S=a^2$，再结合已知体积 $V=4$ 和体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$ 求解正四棱锥的高 $h$。
2. 第二步逻辑：确定侧面与底面所成二面角的平面角。设棱锥顶点为 $P$，底面正方形中心为 $O$，取底面一条边的中点 $E$。连接 $PO,PE,OE$。根据三垂线定理， $\angle PEO$ 即为侧面与底面所成的二面角的平面角。利用直角三角形 $△POE$ 中的边角关系（$\tan \angle PEO=\frac{PO}{OE}$）求出该角。

✅【答案】

Success

$30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

设正四棱锥的底面边长为 $a=2\sqrt{3}\text{ cm}$，高为 $h$，体积为 $V=4{\text{ cm}}^3$。

第一步：求正四棱锥的高 根据正方形面积公式，底面积 $S$ 为： $S=a^2=(2\sqrt{3}{)}^2=12{\text{ cm}}^2$

由锥体体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$ 代入已知数据： $4=\frac{1}{3}\times 12\times h⟹4=4h⟹h=1\text{ cm}$ 即正四棱锥的高 $PO=1\text{ cm}$。

第二步：构造并计算二面角的平面角 设正四棱锥的顶点为 $P$，底面正方形中心为 $O$。 取底面任意一边（如 $AB$）的中点 $E$，连接 $PO,PE,OE$。

• 因为 $PO\perp$ 底面 $ABCD$， $AB\subset$ 底面 $ABCD$，所以 $PO\perp AB$。
• 因为 $O$ 为正方形中心， $E$ 为 $AB$ 中点，所以 $OE\perp AB$，且 $OE$ 的长度为底面边长的一半： $OE=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}=\sqrt{3}\text{ cm}$
• 因为 $PO\perp AB,OE\perp AB$，且 $PO\cap OE=O$，由三垂线定理逆定理可知 $PE\perp AB$。

由此可知， $\angle PEO$ 是侧面 $PAB$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的平面角。

在 $\text{Rt}△POE$ 中， $\angle POE=90^{\circ }$，利用正切函数定义： $\tan \angle PEO=\frac{PO}{OE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

由于二面角的平面角为锐角（$\angle PEO\in (0^{\circ },90^{\circ })$），根据特殊角的三角函数值可得： $\angle PEO=30^{\circ }$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四棱锥体积公式的应用；二面角平面角的经典构造（高、斜高、射影三角形）。
2. 核心方法：三垂线定理定角法。
3. 避坑指南：

• 底面心到边距误用为边长：在直角三角形中，底面的邻边 $OE$ 长度是正方形边长的一半（即 $\frac{a}{2}$），部分学生容易忙中出错直接代入边长 $2\sqrt{3}$，导致算出 $\tan \theta =\frac{1}{2\sqrt{3}}$ 的非特殊角结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第四题，全面考查立体几何中“空间问题平面化”的核心思想，属于常规的立体几何基础运算。
2. 结论推广： 在底面边长为 $a$，侧面与底面夹角为 $\theta$ 的正 $n$ 棱锥中，其底面积 $S_{\text{底}}$ 与侧面积 $S_{\text{侧}}$ 满足标准射影面积定理公式： $S_{\text{底}}=S_{\text{侧}}\cdot \cos \theta$ 本题中，底面积 $S=12$，由勾股定理可求斜高 $PE=2$，四个侧面三角形总面积 $S_{\text{侧}}=4\times \left(\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2\right)=8\sqrt{3}$。 验证： $\cos \theta =\frac{12}{8\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹\theta =30^{\circ }$。利用射影面积法可以作为此类填空题的快速两步复核工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1955-全国-01 解-四小问综合（韦达余弦棱锥定义）
• 1958-湖南-07 解-正六棱锥的体积
• 1985-上海理-14 单-棱锥与内切圆