2002-上海卷理-01 填-复数的代数运算

本题导读

本题考查复数集中一元一次方程的求解及复数的除法运算。核心意图在于测试学生利用虚数单位 $i$ 的运算性质（$i^2=-1$）对复数代数式进行变形与化简的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 若 $z\in \mathbf{C}$，$(3+z)i=1$ ($i$ 为虚数单位)，则 $z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：将原方程两边同时除以 $i$，把未知数所在项 $3+z$ 分离出来，得到 $3+z=\frac{1}{i}$。
2. 第二步逻辑：利用 $i^2=-1$ 或分母实数化方法化简 $\frac{1}{i}$，随后移项求出复数 $z$ 的标准代数形式 $a+bi$。

✅【答案】

Success

$-3-i$

✍【详细解析】

Abstract

已知复数方程为： $(3+z)i=1$

两边同时除以 $i$ 得： $3+z=\frac{1}{i}$

分子与分母同时乘以 $i$ 进行分母实数化： $\frac{1}{i}=\frac{1\times i}{i\times i}=\frac{i}{i^2}$

将 $i^2=-1$ 代入上式化简： $\frac{i}{-1}=-i$

因此，原方程化为： $3+z=-i$

将常数 3 移项至右侧： $z=-3-i$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的基本代数四则运算，倒数 $\frac{1}{i}=-i$ 的常用结论。
2. 核心方法：分母实数化法。
3. 避坑指南：

• 移项符号混淆：移项时需注意将 $+3$ 移到等号右侧变为 $-3$，部分学生在代数急躁时易错写成 $3-i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第一题，属于全卷的基础送分题，旨在考查复数概念与运算的直接映射。
2. 结论推广： 对于所有复数一元一次方程 $(k+z)i=m(k,m\in \mathbf{R})$，通解形式可表示为： $z=\frac{m}{i}-k=-m\cdot i-k=-k-mi$ 通过此公式结构可实现高准确率的直接口算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-12 填-复数的运算
• 2012-广东卷(理)-01 单-复数
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法