2002-上海卷文-22 解-组合数推广性质

本题导读

本题考查组合数的推广，核心在于把组合数公式中的正整数 $n$ 推广到实数 $x$，直接代入定义计算，并验证组合数的两个性质能否推广。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 规定 $C_x^m=\frac{x(x-1)\cdots (x-m+1)}{m!}$，其中 $x\in \mathbf{R}$，$m$ 是正整数，且 $C_x^0=1$，这是组合数 $C_n^m$（$n$、$m$ 是正整数，且 $m⩽n$）的一种推广.

(1) 求 $C_{-15}^3$ 的值；

(2) 设 $x>0$，当 $x$ 为何值时，$\frac{C_x^3}{(C_x^1{)}^2}$ 取得最小值？

(3) 组合数的两个性质：①$C_n^m=C_n^{n-m}$；②$C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$，是否都能推广到 $C_x^m$（$x\in \mathbf{R}$，$m$ 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直接代入定义求 $C_{-15}^3$。
2. $\frac{C_x^3}{(C_x^1{)}^2}$ 化简后用均值不等式。
3. 性质①检验反例，性质②代入定义验证。

✅【答案】

Success

(1) $-680$

(2) $x=\sqrt{2}$

(3) ①不能推广；②能推广为 $C_x^m+C_x^{m-1}=C_{x+1}^m$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$C_{-15}^3=\frac{(-15)(-16)(-17)}{3!}=\frac{-4080}{6}=-680$． （2）$C_x^1=x$，$C_x^3=\frac{x(x-1)(x-2)}{6}$，故 $\frac{C_x^3}{(C_x^1{)}^2}=\frac{(x-1)(x-2)}{6x}=\frac{1}{6}\left(x+\frac{2}{x}-3\right)$．由 $x>0$，$x+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{2}$，当且仅当 $x=\sqrt{2}$ 时取等号，故当 $x=\sqrt{2}$ 时 $\frac{C_x^3}{(C_x^1{)}^2}$ 取得最小值 $\frac{1}{6}(2\sqrt{2}-3)$． （3）性质①不能推广．例如 $x=\sqrt{2}$ 时 $C_{\sqrt{2}}^1$ 有定义，但 $C_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}-1}$ 中上标 $\sqrt{2}-1$ 不是正整数，无意义． 性质②能推广，推广形式为 $C_x^m+C_x^{m-1}=C_{x+1}^m$（$x\in \mathbf{R}$，$m$ 是正整数）．证明：$C_x^m+C_x^{m-1}=\frac{x(x-1)\cdots (x-m+1)}{m!}+\frac{x(x-1)\cdots (x-m+2)}{(m-1)!}=\frac{x(x-1)\cdots (x-m+2)}{(m-1)!}\left(\frac{x-m+1}{m}+1\right)=\frac{x(x-1)\cdots (x-m+2)(x+1)}{m!}=C_{x+1}^m$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合数推广性质

核心方法：(1) $C_{-15}^3=\frac{(-15)(-16)(-17)}{6}=-680$；(2) $\frac{C_x^3}{(C_x^1{)}^2}=\frac{(x-1)(x-2)}{6x}=\frac{1}{6}\left(x+\frac{2}{x}-3\right)$，$x>0$ 时 $x+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{2}$，等号当 $x=\sqrt{2}$ 取到，故 $x=\sqrt{2}$ 时最小；(3) ①不能推广，②能推广为 $C_x^m+C_x^{m-1}=C_{x+1}^m$

避坑指南：推广组合数直接代入定义计算，用均值不等式 $x+\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{2}$ 求最小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材组合数推广

结论推广：一般地，推广组合数用定义代入，性质逐条验证

方法推广：直接代入定义计算，性质②可推广

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2003-上海文-22 解-等比数列组合数恒等式
• 2008-湖南文-15 填-取整组合数新定义