2002-上海卷文-19 解-二次函数最值与单调

本题导读

本题考查二次函数在闭区间上的最值与单调性，核心在于配方并利用对称轴与区间的位置关系。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^2+2ax+2$，$x\in [-5,5]$.

(1) 当 $a=-1$ 时，求函数 $f(x)$ 的最大值与最小值；

(2) 求实数 $a$ 的取值范围，使 $y=f(x)$ 在区间 $[-5,5]$ 上是单调函数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a=-1$ 时 $f(x)=(x-1{)}^2+1$，看对称轴在区间内的位置。
2. 单调性要求对称轴 $x=-a$ 在区间外。

✅【答案】

Success

(1) 最大值为 $37$，最小值为 $1$

(2) $a⩽-5$ 或 $a⩾5$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$，$x\in [-5,5]$．对称轴 $x=1$ 在区间内，故最小值为 $f(1)=1$；两端点中 $f(-5)=(-5{)}^2-2(-5)+2=37$ 较大，故最大值为 $37$． （2）$f(x)=(x+a{)}^2+2-a^2$，对称轴为 $x=-a$．要使 $f(x)$ 在 $[-5,5]$ 上单调，需 $-a\le -5$ 或 $-a\ge 5$，即 $a\ge 5$ 或 $a\le -5$，故 $a$ 的取值范围为 $a\le -5$ 或 $a\ge 5$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数最值与单调

核心方法：(1) $a=-1$ 时 $f(x)=(x-1{)}^2+1$，$x\in [-5,5]$ 最大 $f(-5)=37$、最小 $f(1)=1$；(2) 对称轴 $x=-a$ 在区间外，$a\le -5$ 或 $a\ge 5$

避坑指南：二次函数最值看对称轴是否在区间内，单调性要求对称轴在区间外

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二次函数最值

结论推广：一般地，二次函数最值看对称轴，单调性要求对称轴在区间外

方法推广：配方求最值，由对称轴定参数范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-10 单-二次函数单调充要
• 2002-新课标文-09 单-二次函数单调充要