2001-豫粤卷-20 解-函数应用题

本题导读

本题考查函数应用题。核心在于恒等变形法、均值不等式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 设计一幅宣传画，要求画面面积为 $4840{\text{ cm}}^2$，画面的宽与高的比为 $\lambda (\lambda <1)$，画面的上、下各留 $8\text{ cm}$ 空白，左、右各留 $5\text{ cm}$ 空白. 怎样确定画面高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求 $\lambda \in \left[\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right]$，那么 $\lambda$ 为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路（几何建模与均值不等式）：

• 设定变量：设画面的高为 $x\text{ cm}$，根据宽高比 $\lambda$，则画面的宽为 $\lambda x\text{ cm}$。
• 建立面积方程：由画面面积为 4840，得 $\lambda x^2=4840$，解出 $x=\sqrt{\frac{4840}{\lambda }}$。
• 构建纸张总面积函数：纸张的总高为 $x+16$，总宽为 $\lambda x+10$。总面积 $S=(x+16)(\lambda x+10)=\lambda x^2+16\lambda x+10x+160$。
• 消除变量求解：将 $\lambda x^2=4840$ 代入函数，消去高 $x$，将 $S$ 化为关于宽高比参数 $\lambda$ 的一元函数，利用基本不等式（均值不等式）直接求出理论最小值及取等条件下的高与宽。

2. 第二问思路（对勾函数区间单调性分析）：

• 将第一问化简得到的总面积函数视为关于变量 $\sqrt{\lambda }$ 的经典对勾函数形式。
• 分析第一问求出的理论最值点（等号成立点）是否落在已知约束区间 $\lambda \in \left[\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right]$ 内。
• 若不包含在区间内，利用对勾函数在已知闭区间上的严格单调性，直接判定边界端点处的极值分布，锁定使面积最小的 $\lambda$ 确界值。

✅【答案】

Success

(1) 画面高为 $88\text{cm}$、宽为 $55\text{cm}$ 时纸张面积最小

(2) 当 $\lambda =\frac{2}{3}$ 时纸张面积最小

✍【详细解析】

Abstract

（1）无区间约束下纸张面积最小的尺寸确定

设画面的高为 $x\text{ cm}$。因为画面的宽与高的比为 $\lambda$，所以画面的宽为： $y=\lambda x\text{ cm}$ 已知画面的实际净面积为 $4840{\text{ cm}}^2$，建立方程： $x\cdot (\lambda x)=4840⟹\lambda x^2=4840\text{(1)}$ 由于 $x>0,\lambda >0$，可解得高与宽关于参数 $\lambda$ 的隐式表达： $x=\sqrt{\frac{4840}{\lambda }}=\frac{22\sqrt{10}}{\sqrt{\lambda }}$

根据题意，宣传画纸张的整体几何尺寸为：

• 纸张总高： $x+2\times 8=x+16$
• 纸张总宽： $\lambda x+2\times 5=\lambda x+10$

设宣传画所用纸张的总面积为 $S$，将其写为关于 $x$ 与 $\lambda$ 的复合代数式： $S=(x+16)(\lambda x+10)=\lambda x^2+10x+16\lambda x+160$ 将 ① 式 $\lambda x^2=4840$ 及 $x=\frac{22\sqrt{10}}{\sqrt{\lambda }}$ 全量代入上式中以完全消除自变量 $x$： $S=4840+10\cdot \left(\frac{22\sqrt{10}}{\sqrt{\lambda }}\right)+16\lambda \cdot \left(\frac{22\sqrt{10}}{\sqrt{\lambda }}\right)+160$ $S=5000+\frac{220\sqrt{10}}{\sqrt{\lambda }}+352\sqrt{10}\sqrt{\lambda }\text{(2)}$

因为 $\lambda >0$，应用基本不等式（均值不等式 $A+B\ge 2\sqrt{AB}$）求面积最小值： $S\ge 5000+2\sqrt{\frac{220\sqrt{10}}{\sqrt{\lambda }}\times 352\sqrt{10}\sqrt{\lambda }}=5000+2\sqrt{220\times 352\times 10}$ $S\ge 5000+2\sqrt{774400}=5000+2\times 880=5000+1760=6760{\text{ cm}}^2$

当且仅当基本不等式的两项严格相等时，面积取得全局最小值： $\frac{220\sqrt{10}}{\sqrt{\lambda }}=352\sqrt{10}\sqrt{\lambda }⟹352\lambda =220⟹\lambda =\frac{220}{352}=\frac{5}{8}$ 由于 $\lambda =\frac{5}{8}=0.625<1$，符合题干初始条件。

将 $\lambda =\frac{5}{8}$ 代回求得此时画面的具体高与宽：

• 画面高： $x=\sqrt{\frac{4840}{\frac{5}{8}}}=\sqrt{968\times 8}=\sqrt{7744}=88\text{ cm}$

• 画面宽： $\lambda x=\frac{5}{8}\times 88=55\text{ cm}$

（2）当 $\lambda \in \left[\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right]$ 时纸张面积最小的 $\lambda$ 值确定

令新变量 $t=\sqrt{\lambda }$。因为已知 $\lambda \in \left[\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right]$，所以 $t$ 的闭区间约束为： $t\in \left[\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{3}{4}}\right]\approx [0.816,0.866]$ 将 ② 式改写为关于 $t$ 的函数形式： $S(t)=5000+352\sqrt{10}\cdot t+\frac{220\sqrt{10}}{t}$ 这是一个经典的开口向上的对勾函数 $f(t)=at+\frac{b}{t}$。该函数的全局极小值理论极值点发生在： $t_0=\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{\frac{220\sqrt{10}}{352\sqrt{10}}}=\sqrt{\frac{5}{8}}\approx 0.791$

因为由对勾函数的几何图象单调性可知，当 $t>t_0$ 时，函数 $S(t)$ 严格单调递增。 比对极值点与约束区间左端点的大小关系： $t_0=\sqrt{\frac{5}{8}}=\sqrt{0.625}<\sqrt{\frac{2}{3}}\approx \sqrt{0.667}$ 这表明整个已知闭区间 $t\in \left[\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{3}{4}}\right]$ 已经完全落在了理论极小值点 $t_0$ 的右侧单调递增区间内。

根据单调递增函数的定义，自变量越小，对应的函数值越小。因此，当 $t$ 取区间的左端点时，纸张总面积 $S(t)$ 取得区间内的最小值： $t_{\min }=\sqrt{\frac{2}{3}}⟹{\lambda }_{\min }=\frac{2}{3}$

(1) 当画面高为 $88\text{ cm}$、宽为 $55\text{ cm}$ 时，能使宣传画所用纸张面积最小； (2) 如果要求 $\lambda \in \left[\frac{2}{3},\frac{3}{4}\right]$，那么当 $\lambda =\frac{2}{3}$ 时，能使宣传画所用纸张面积最小．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：实际问题向双变量二次多项式的转化；基于均值不等式 ${\text{C}}_2$ 构型的消元最值提取；对勾函数（双曲型函数）在一阶单调区间内的端点边界决策。
2. 核心方法：均值不等式最值法、对勾函数区间单调性分析法。
3. 避坑指南：

• 自变量与因变量错位陷阱：在构建面积函数时，极易将画面的高宽直接等同于纸张的高宽，漏掉周围的空白留置（即漏加 16 和 10）。必须建立画面尺寸与纸张尺寸的对应外扩代数平移关系。
• 第二问盲目套用极值点陷阱：部分学生在做第二问时，习惯性直接写上第一问算出的 $\lambda =\frac{5}{8}$。必须强制将理论最值点与已知闭区间进行重叠位置审查。若理论点越界，最值必在靠近该点的端点（即边界处）处取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于应用题与不等式最值综合板块的经典高考压轴解答题，取材于高中数学教材“不等式应用”章节关于如何通过几何排版实现耗材成本（面积）最低化的最优化控制模型。
2. 结论推广：

更一般地，设画面净面积为 $V_0$，上下留白各为 $H$，左右留白各为 $W$。其纸张面积不变量通式可写为 $S(\lambda )=V_0+2HW+2H\sqrt{\lambda V_0}+2W\sqrt{\frac{V_0}{\lambda }}$。

• 全局自由无约束下的最优宽高比通解为： ${\lambda }^{\ast }=\frac{W}{H}$ 代入本题特定参数 $W=5,H=8$： ${\lambda }^{\ast }=\frac{5}{8}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积
• 1986-广东理-10 单-均值不等式求最值
• 1998-全国卷文-24 解-基本不等式的实际应用