2001-豫粤卷-17 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换，主要用到恒等变形与公式代换。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 求函数 $y=(\sin x+\cos x{)}^2+2{\cos }^{2}x$ 的最小正周期.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开完全平方式：应用代数公式 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ 展开第一项，利用 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 与二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 先化简。
2. 应用降幂公式化简二次项：利用降幂公式 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$ 将第二项化为倍角形式。
3. 合一变换（辅助角公式）：将 $\sin 2x+\cos 2x$ 用辅助角公式化为 $A\sin (2x+\phi )$ 的形式。
4. 计算最小正周期：依据正弦型函数的周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，代入 $\omega$ 求得结果。

✅【答案】

Success

最小正周期 $T=\pi$

✍【详细解析】

Abstract

对原函数进行恒等变形与降次 原函数为： $y=(\sin x+\cos x{)}^2+2{\cos }^{2}x$

首先展开第一部分的完全平方式： $(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$ 利用同角三角函数平方和关系 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 以及二倍角公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$： $(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin 2x$

接着利用余弦二倍角降幂公式化简第二部分： $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$

将两部分化简结果代回原函数中合并同类项： $y=(1+\sin 2x)+(1+\cos 2x)=\sin 2x+\cos 2x+2$

利用辅助角公式化为标准正弦型函数 对 $\sin 2x+\cos 2x$ 提取 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，进行合一变换： $y=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x\right)+2$ $y=\sqrt{2}\left(\sin 2x\cos \frac{\pi }{4}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{4}\right)+2$ $y=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+2$

根据解析式求解最小正周期 化简后的函数为： $y=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+2$ 该正弦型函数的 $\omega$（ $x$ 的系数）为： $\omega =2$

根据三角函数周期公式，其最小正周期 $T$ 为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$

函数的最小正周期为 $\pi$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：完全平方式的三角化简；降幂公式 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$；正弦型函数周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。
2. 核心方法：倍角降次化简法、辅助角变换法。
3. 避坑指南：

• 周期公式混淆陷阱：部分学生在第一步变形时，未将自变量通过倍角公式统一化为 $2x$，而是误用原自变量 $x$ 计算，导致错算周期为 $2\pi$。只有将函数化为形如 $A\sin (\omega x+\phi )$ 的形式后，才能用周期公式求值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数恒等变形与性质的常规解答题，取材于高中数学教材“两角和与差的正弦、余弦公式”中关于三角多项式化简求周期的课后习题。
2. 结论推广：对于形如 $\Psi (x)=(A\sin x+B\cos x{)}^2+C{\cos }^{2}x$ 的二次三角多项式，展开后是关于 $2x$ 的线性组合，故其最小正周期为 $\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-陕西文-18 解-辅助角与周期最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值