2001-豫粤卷-13 填-排列组合

本题导读

本题考查排列组合，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 已知甲、乙两组各有 8 人，现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有$\underline{}$种可能.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析事件的独立性与分步结构：比赛人员的选拔由两部分组成，即“从甲组选人”和“从乙组选人”。这两个选拔过程互不干扰，属于独立分步事件。
2. 计算单步组合数：

• 第一步，从甲组 8 人中任意抽取 4 人，方法数为 ${\text{C}}_8^4$；
• 第二步，从乙组 8 人中任意抽取 4 人，方法数为 ${\text{C}}_8^4$。

3. 应用乘法原理级联：将两步的方法数相乘，得到总的可能人员组成数，并将其化简为具体的阿拉伯数字。

✅【答案】

Success

$4900$

✍【详细解析】

Abstract

计算甲组抽取的组合数 从甲组的 8 人中任意抽取 4 人参加竞赛，由于不考虑人员的先后顺序，属于标准的组合问题。其可能的方法数为： ${\text{C}}_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70\text{ 种}$

计算乙组抽取的组合数 同理，从乙组的 8 人中任意抽取 4 人参加竞赛，其可能的方法数同样为： ${\text{C}}_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70\text{ 种}$

利用分步乘法计数原理求总数 完成“两组各抽取 4 人”这一整体事件共需要分两步完成。 根据分步乘法计数原理，总的人员组成可能种数为两步方法数的乘积： $N={\text{C}}_8^4\times {\text{C}}_8^4=70\times 70=4900\text{ 种}$

4900

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数公式的准确展开与消元化简；分步乘法原理的边界应用。
2. 核心方法：分步乘法级联法。
3. 避坑指南：

• 分类与分步混淆陷阱：极易将分步乘法原理错用为分类加法原理，算成 $70+70=140$。必须明确只有两组全部选拔完毕才算完成整个事件，因此中间必须用乘法级联。
• 数式未化简陷阱：题目明确限定“用数字作答”，最终结果必须写成具体的数值 4900，切勿大意保留为 $({\text{C}}_8^4{)}^2$ 形式而导致失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于计数原理板块最基础的组合填空题，取材于高中数学教材“排列与组合”章节关于分步乘法计数原理应用的经典课后例题。
2. 结论推广： 本题所涉及的结构可直接推广为通用的**“多维对称矩阵抽样不变量模型”**： 若共有 $m$ 个独立的互斥组，每个组各拥有 $N$ 个元素，现从每组中同时强制抽取 $k$ 个元素，则全局空间的样本组合总数 $W$ 恒满足如下解析闭式解： $W={\left({\text{C}}_N^k\right)}^m$ 代入本题参数（组数 $m=2$，每组总数 $N=8$，抽取数 $k=4$）： $W={\left({\text{C}}_8^4\right)}^2=70^2=4900$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 2020-上海卷-09 填-组合数公式
• 1985-全国文-05 单-排列计数（五位数）