2001-豫粤卷-10 单-抛物线的代数方程与几何性质

本题导读

本题考查抛物线的代数方程与几何性质，以及平面两点间距离公式。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 对于抛物线 $y^2=4x$ 上任意一点 $Q$，点 $P(a,0)$ 都满足 $|PQ|\ge |a|$，则 $a$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,0)$　　　　B. $(-\infty ,2]$　　　　C. $[0,2]$　　　　D. $(0,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设动点坐标并列出距离平方：设抛物线上的任意动点为 $Q(x,y)$。利用其方程满足 $y^2=4x$，可得 $x\ge 0$。
2. 写出两点间距离的表达式：应用平面两点间距离公式展开 $|PQ{|}^2=(x-a{)}^2+y^2$。将 $y^2=4x$ 代入其中消去 $y$，化为关于 $x$ 的一元二次多项式。
3. 转化为恒成立问题：已知条件 $|PQ|\ge |a|$ 等价于 $|PQ{|}^2\ge a^2$。将多项式代入并消去常数项 $a^2$，将问题转化为“在区间 $x\in [0,+\infty )$ 上，一元二次不等式恒成立”的问题。
4. 分类讨论对称轴位置求解：分析一元二次函数的开口方向与对称轴位置，结合定义域左端点 $x=0$，反解出 $a$ 的范围。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设抛物线 $y^2=4x$ 上的任意动点坐标为 $Q(x,y)$。 由于点 $Q$ 在抛物线上，其横坐标满足： $x\ge 0\text{且}{y}^2=4x$

已知定点为 $P(a,0)$。由平面两点间距离公式，求得 $P,Q$ 两点间距离的平方为： $|PQ{|}^2=(x-a{)}^2+(y-0{)}^2=(x-a{)}^2+y^2$ 将 $y^2=4x$ 代入上式中消去 $y$，得到仅关于横坐标 $x$ 的二次多项式： $|PQ{|}^2=x^2-2ax+a^2+4x=x^2+2(2-a)x+a^2$

题目要求对于抛物线上任意一点 $Q$，恒满足不等式： $|PQ|\ge |a|⟺|PQ{|}^2\ge |a{|}^2=a^2$ 将第一步算出的代数式代入该不等式中： $x^2+2(2-a)x+a^2\ge a^2$ 两边同时消去常数项 $a^2$，得： $x^2+2(2-a)x\ge 0$ 该不等式必须在 $x\in [0,+\infty )$ 内恒成立。

令一元二次函数 $f(x)=x^2+2(2-a)x$，其图象是一条开口向上的抛物线，且恒过原点（即 $f(0)=0$）。 要使 $f(x)\ge 0$ 在 $x\in [0,+\infty )$ 上恒成立，结合图象：

• 只要该二次函数的对称轴位于 $y$ 轴的左侧或与 $y$ 轴重合，则在 $x\ge 0$ 的区域内，函数单调递增，其最小值在左端点 $x=0$ 处取得，从而恒满足 $f(x)\ge f(0)=0$。

该二次函数的对称轴方程为 $x=-\frac{2(2-a)}{2}=a-2$。 因此，必须满足对称轴小于或等于 0： $a-2\le 0⟹a\le 2$

用区间形式表达 $a$ 的取值范围为： $(-\infty ,2]$

正确选项： B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线曲线上动点坐标的代数关系消元；二次函数在区间 $[0,+\infty )$ 上恒成立的判定。
2. 核心方法：坐标代数消元法、对称轴分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 判别式误用陷阱：极易盲目套用一元二次不等式在全实数域上恒成立的条件（ $\Delta \le 0$）。若强行令 $\Delta =4(2-a{)}^2-4\times 1\times 0\le 0⟹(2-a{)}^2\le 0⟹a=2$，会漏掉 $a<2$ 的解，从而错选。本题有 $x\ge 0$ 的限制，不能直接用判别式，而应结合对称轴与图象分析。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是圆锥曲线与函数、不等式交汇的综合选择题。
2. 结论推广：对于标准抛物线 $y^2=2px$，设定点 $P(a,0)$。要使抛物线上任意一点 $Q$ 满足 $|PQ|\ge |a|$，可设 $Q(x,y)$，由 $y^2=2px$ 得 $|PQ{|}^2=x^2+2(p-a)x+a^2$，再由 $x\ge 0$ 且 $x^2+2(p-a)x\ge 0$ 恒成立，得对称轴 $a-p\le 0$，即 $a\le p$。本题 $2p=4$，即 $p=2$，故 $a\le 2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1954-全国-02 解-二次函数图象定范围
• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1977-北京文-10 解-二次函数的图象