2001-豫粤卷-08 单-空间异面直线所成的角

本题导读

本题考查空间异面直线所成的角，以及空间向量的数量积运算。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，若 $AB=\sqrt{2}B{B}_1$，则 $A{B}_1$ 与 $C_{1}B$ 所成的角的大小为()

A. $60^{\circ }$　　　　　　B. $90^{\circ }$　　　　　　C. $45^{\circ }$　　　　　　D. $120^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 解析正三棱柱的几何度量：

• 设正三棱柱的侧棱长 $B{B}_1=1$，则底面正三角形的边长 $AB=BC=CA=\sqrt{2}$。

2. 构建空间直角坐标系：

• 利用底面正三角形 $ABC$ 的对称轴与边长的正交性，取 $BC$ 的中点为坐标原点 $O$。
• 令 $OB$ 方向为 $x$ 轴， $OA$ 方向为 $y$ 轴，过 $O$ 平行于侧棱 $B{B}_1$ 的方向为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系。

3. 写出关键点坐标与方向向量：

• 确定点 $A,B,B_1,C_1$ 的空间三维坐标。
• 显式写出异面直线的方向向量 $\overrightarrow{A{B}_1}$ 和 $\overrightarrow{C_{1}B}$。

4. 利用向量内积求夹角：

• 计算两方向向量的数量积 $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{C_{1}B}$。若内积为 0，则两向量互相垂直，所成夹角为 $90^{\circ }$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设定基本几何量并建立空间直角坐标系 在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，底面 $ABC$ 为正三角形，侧棱垂直于底面。 设侧棱长 $B{B}_1=1$，由条件 $AB=\sqrt{2}B{B}_1$ 可知底面边长为： $BC=AB=\sqrt{2}$

取底面边长 $BC$ 的中点为原点 $O$。

• $x$ 轴正方向沿 $\overrightarrow{OB}$ 延伸；

• $y$ 轴正方向沿 $\overrightarrow{OA}$ 延伸（ $OA\perp BC$ 且 $OA$ 为等边三角形的高）；

• $z$ 轴正方向垂直于底面向上。

计算各关键顶点的三维坐标 根据等边三角形的几何性质，高为 $OA=BC\times \sin 60^{\circ }=\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。 中点分段长 $OB=OC=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 由此在空间直角坐标系中，下底面和上底面相关顶点的坐标可唯一确定为：

• $B=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,0\right)$
• $C=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,0\right)$
• $A=\left(0,\frac{\sqrt{6}}{2},0\right)$

由于上底面等价于下底面沿 $z$ 轴平移高度 1（因为 $B{B}_1=1$），故：

• $B_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,1\right)$

• $C_1=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,1\right)$

计算两异面直线的方向向量 根据向量的坐标减法公式（终点坐标减起点坐标），求出对应的直线向量： $\overrightarrow{A{B}_1}=B_1-A=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-0,0-\frac{\sqrt{6}}{2},1-0\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2},1\right)$ $\overrightarrow{C_{1}B}=B-C_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right),0-0,0-1\right)=\left(\sqrt{2},0,-1\right)$

通过数量积判定夹角 计算两个方向向量的空间代数内积（对应坐标乘积之和）： $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{C_{1}B}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\times \sqrt{2}+\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\times 0+1\times (-1)$ $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{C_{1}B}=1+0-1=0$

因为方向向量的代数内积严格等于 0，所以向量 $\overrightarrow{A{B}_1}$ 与 $\overrightarrow{C_{1}B}$ 互相垂直。 根据异面直线所成角的定义（范围限制在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 内），两条异面直线互相垂直。 因此，它们所成角的大小为 $90^{\circ }$。

正确选项： B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的标准化构建；异面直线方向向量的空间内积垂直判据（ $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0⟺\mathbf{u}\perp \mathbf{v}$）。
2. 核心方法：空间向量坐标代数法。
3. 避坑指南：

• 等边三角形高线计算错误陷阱：极易将底面正三角形的高 $OA$ 习惯性错算为 $\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，当 $AB=\sqrt{2}$ 时，应为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$。如果坐标输入错误，会导致内积不为0从而无法解题。
• 夹角范围陷阱：本题由于内积正好为 0，直接锁定 $90^{\circ }$。若非垂直状态，利用公式 $\cos \theta =\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ 计算时，切记分子必须加绝对值，确保输出的几何夹角严格落在 $\left[0^{\circ },90^{\circ }\right]$ 的法定限界内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何空间线线角板块的典型中档选择题，取材于高中立体几何教材“空间向量与代数解析”章节关于利用建系法转化空间夹角关系的标准应用大题。
2. 结论推广： 本题所求得的垂直不变量，可推广为通用的**“正三棱柱斜交线正交性判定定理”**： 在任意标准正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，设底面边长为 $m$，侧棱长为 $n$。两异面直线 $A{B}_1$ 与 $C_{1}B$ 互相垂直的充要条件，是其几何度量边长严格满足如下比例不变量： $m=\sqrt{2}n$ 直接利用此推广模型：本题已知条件给出 $AB=\sqrt{2}B{B}_1$，完全符合该互垂直不变量的代数边界，直接判定输出 $\theta \equiv 90^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I理-07 单-立体几何
• 1988-广东文-08 单-异面直线的性质
• 1988-广东理-06 单-异面直线的性质