2001-豫粤卷-05 单-复数的辐角与辐角主值

本题导读

本题考查复数的辐角与辐角主值，以及复数商的辐角运算性质。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 已知复数 $z=\sqrt{2}+\sqrt{6}\text{i}$，则 $\arg \frac{1}{z}$ 是()

A. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　B. $\frac{5\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　D. $\frac{11\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出原复数 $z$ 的辐角主值 $\arg z$：

• 观察复数 $z$ 的实部 $a=\sqrt{2}>0$，虚部 $b=\sqrt{6}>0$，可知 $z$ 在第一象限。
• 利用公式 $\tan (\arg z)=\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，求出 $\arg z$。

2. 应用辐角运算法则定理：

• 根据复数商的辐角性质： $\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2$。
• 故有 $\arg \left(\frac{1}{z}\right)=\arg (1)-\arg z=0-\arg z=-\arg z$。

3. 转化为标准辐角主值范围：

• 辐角主值的标准定义取值范围通常规定为 $[0,2\pi )$。
• 若算出的角度为负值，需加上 $2\pi$ 使其落入标准区间，从而匹配正确选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

计算已知复数 $z$ 的辐角主值 $\arg z$ 给定复数 $z=\sqrt{2}+\sqrt{6}\text{i}$。 其在复平面上对应的点为 $(\sqrt{2},\sqrt{6})$，位于第一象限。 设复数 $z$ 的辐角主值为 $\theta =\arg z$，则有： $\tan \theta =\frac{\text{虚部}}{\text{实部}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$ 由于 $\theta$ 在第一象限（ $0<\theta <\frac{\pi }{2}$），解得： $\arg z=\frac{\pi }{3}$

利用辐角运算法则求 $\arg \frac{1}{z}$ 根据复数运算中关于辐角的代数不变量性质，商的辐角等于辐角之差： $\arg \frac{1}{z}=\arg (1)-\arg z$ 因为实数 1 在复平面正半轴上，其辐角 $\arg (1)=0$。 代入得： $\arg \frac{1}{z}=0-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}$

将辐角调整至标准区间 $[0,2\pi )$ 由于通常情况下选择题选项中提供的辐角主值范围满足 $[0,2\pi )$，我们需要将 $-\frac{\pi }{3}$ 加上一个周期 $2\pi$ 进行周期延拓： $\arg \frac{1}{z}=-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$

正确选项： B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：第一象限特殊复数辐角的判定；复数倒数在复平面上的共轭轴向辐角反转性质。
2. 核心方法：辐角运算法则性质法。
3. 避坑指南：

• 代数有理化繁琐陷阱：部分学生习惯先进行代数有理化去算 $\frac{1}{z}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{6}\text{i}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}\text{i}}{8}$，再判定其位于第四象限去求 $\tan$，这种纯代数方法极易在根号约分和开方分母时出现计算失误。处理复数的乘除、乘方问题，优先向模与辐角的代数性质靠拢，可实现零计算量破题。
• 区间越界陷阱：算出 $-\frac{\pi }{3}$ 后，若由于大意直接忽略负号，容易错选 A。必须深刻理解复数倒数的辐角是原辐角的相反数，并严格执行模 $2\pi$ 的平移补正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于代数板块中复数性质的典型基础选择题，取材于高中数学教材“复数的三角形式”章节关于复数乘除法几何意义应用的课后练习题。
2. 结论推广： 本题所揭示的复数倒数辐角性质，是复变函数中**“反演变换（Inversion Transformation）”**的一个退化不变量。 对于任意非零复数 $z=r{\text{e}}^{\text{i}\theta }$，其倒数可唯一写成狄拉克指数形式： $\frac{1}{z}=\frac{1}{r}{\text{e}}^{-\text{i}\theta }$ 这表明在复平面上，一个复数变为其倒数，其几何效应等价于：模长变为原模长的倒数，同时关于实轴进行镜像对称（辐角变号）。 这一关于 $\arg \left(\frac{1}{z}\right)\equiv -\arg z(\mathrm{mod}2\pi )$ 的数论同余模型，在近代电磁学与微波工程中用以进行阻抗匹配的史密斯圆图（Smith Chart）解析几何映射、以及信号处理中的欧拉正交滤波器相位延迟精算中，构成了最核心的复平面解析几何基本公理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-11 单-复数的辐角
• 1986-广东理-05 单-复数的辐角
• 1987-全国文-04 单-复数的三角形式与辐角