2001-豫粤卷-04 单-对数函数的图象与性质

本题导读

本题考查对数函数的图象与性质，以及函数恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 若定义在区间 $(-1,1)$ 内的函数 $f(x)={\log }_{2a}(x+1)$ 满足 $f(x)>0$，则 $a$ 的取值范围是()

A. $\left(0,\frac{1}{2}\right)$　　　　B. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$　　　　C. $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$　　　　D. $(0,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定自变量的真数范围：当 $x\in (-1,1)$ 时，自变量的整体平移项（即对数真数）满足 $x+1\in (0,2)$。
2. 分析函数恒成立条件：题目要求在此区间内，函数值恒满足 $f(x)>0$。我们需要考察真数 $x+1$ 的取值横跨了 1 的两侧（即包含 $(0,1)$ 和 $(1,2)$ 的子区间）。
3. 分类讨论底数性质：

• 若底数大于 1（即 $2a>1$），对数函数在定义域内单调递增。当 $x+1\in (0,1)$ 时， ${\log }_{2a}(x+1)<0$，与题意矛盾。
• 若底数介于 0 到 1 之间（即 $0<2a<1$），对数函数单调递减。此时需要对区间两端点的极值状态进行严格审查，判定能否在整个 $(-1,1)$ 内让 $f(x)>0$ 恒成立。

4. 纠正题干的不严谨性并求解：通过审视发现，当 $x=0$ 时，真数 $x+1=1$，此时无论底数为何值，恒有 $f(0)={\log }_{2a}1=0$，根本不可能满足 $f(x)>0$。因此该题干存在科学性漏洞。我们需要将题干的真实意图纠正为“当 $x\in (0,1)$ 时满足 $f(x)>0$ 恒成立”，进而推导出合理范围。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

分析题干逻辑冲突与合理意图修正 原题干表述为：当 $x\in (-1,1)$ 时， $f(x)={\log }_{2a}(x+1)>0$ 恒成立。 然而，当 $x=0\in (-1,1)$ 时，代入函数得： $f(0)={\log }_{2a}(0+1)={\log }_{2a}1=0$ 这与条件 $f(x)>0$ 严格矛盾。 结合选择题的选项设置，此题在命题时的真实设计意图为：若定义在区间 $(-1,1)$ 内的函数 $f(x)={\log }_{2a}(x+1)$，在 $x$ 取该区间内的正数（即 $x\in (0,1)$）时满足 $f(x)>0$，求 $a$ 的范围。以下基于此修正后的合理数学意图进行解析：

基于真数区间进行底数分类讨论 当 $x\in (0,1)$ 时，真数 $t=x+1$ 的取值范围为： $t\in (1,2)$ 即真数 $t$ 严格大于 1。

要使对数函数 $f(x)={\log }_{2a}t>0$ 恒成立，根据对数函数的图象特征：

• 只有当**“底数与真数同时大于 1”或者“底数与真数同时介于 0 到 1 之间”**时，对数函数值才大于 0。

因为此时真数 $t\in (1,2)$ 已经严格大于 1，所以为了保证对数项大于 0，其底数 $2a$ 必须同样严格大于 1，即： $2a>1$

解不等式确定 $a$ 的范围 解一元一次不等式 $2a>1$，两边同除以 2 得： $a>\frac{1}{2}$

用区间形式表述为： $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$

正确选项： C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数底数不变量限界（底数大于0且不等于1）；对数函数单调性与函数值符号的联动判定。
2. 核心方法：真数区间映射法、底数特征分析法。
3. 避坑指南：

• 真数极值混淆陷阱：部分学生误认为真数 $x+1$ 的区间是 $(0,2)$，进而认为底数无论大于1还是小于1都会导致部分区间小于0，从而陷入无法解题的死循环。面对早期高考试题中个别表述不严谨的偶发缺陷，应敏锐识别其在特定子区间（如 $x>0$ 区域）的真实考查方向，通过选项反推命题意图破题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于对数函数板块的性质应用选择题，取材于高中数学教材“对数函数”章节关于底数对函数图象单调性干涉的核心性质基础题。
2. 结论推广： 本题所涉及的对数符号判定可推广为通用的**“同侧正值性定理”**： 对于广义对数式 $y={\log }_{u}v(u>0,u\ne 1,v>0)$ ： $y>0⟺(u-1)(v-1)>0$ 即底数 $u$ 与真数 $v$ 必须同时位于 1 的同侧（同大于1或同小于1），对数值才为正。 利用该推广模型审视本题：由于修正后的真数 $v=x+1\in (1,2)$ 严格位于 1 的右侧（ $v-1>0$），为了让对数大于 0，底数 $u=2a$ 必须强制位于 1 的右侧，即 $2a-1>0⟹a>\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1985-广东理-33 解-对数函数的定义域与最值
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-全国文-19 解-对数不等式的恒成立