2001-新课标理-05 单-平面向量分解

本题导读

本题考查平面向量的分解，以及坐标运算。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 若向量 $\mathbf{a}=(1,1)$，$\mathbf{b}=(1,-1)$，$\mathbf{c}=(-1,2)$，则 $\mathbf{c}=$()

A. $-\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{2}\mathbf{b}$　　B. $\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{3}{2}\mathbf{b}$　　C. $\frac{3}{2}\mathbf{a}-\frac{1}{2}\mathbf{b}$　　D. $-\frac{3}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\mathbf{c}=m\mathbf{a}+n\mathbf{b}$。
2. 由坐标对应列方程组解 $m,n$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 $\mathbf{c}=m\mathbf{a}+n\mathbf{b}$，则 $(-1,2)=(m+n,m-n)$，故 $\{\begin{array}{l}m+n=-1\\ m-n=2\end{array}$，解得 $m=\frac{1}{2}$，$n=-\frac{3}{2}$．所以 $\mathbf{c}=\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{3}{2}\mathbf{b}$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量分解

核心方法：设 $\mathbf{c}=m\mathbf{a}+n\mathbf{b}$，$\{\begin{array}{l}m+n=-1\\ m-n=2\end{array}$ 得 $m=\frac{1}{2},n=-\frac{3}{2}$

避坑指南：

• 系数配错字母：设 $\mathbf{c}=m\mathbf{a}+n\mathbf{b}$ 后，$m$ 只跟 $\mathbf{a}$ 的两个分量相乘。把 $m$ 配到 $\mathbf{b}$ 上，解出来的就是另一个选项（本题四个选项正好两两互为”配错”）。
• 解完不回代：两组方程解出 $m=\frac{1}{2}$、$n=-\frac{3}{2}$ 后，代回 $\frac{1}{2}(1,1)-\frac{3}{2}(1,-1)=(-1,2)$ 验一次，一步就能发现符号错。
• 把 $\mathbf{c}$ 当成基底：题目给的是”用 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 表示 $\mathbf{c}$“，方向反了会去解 $\mathbf{a}=m\mathbf{b}+n\mathbf{c}$，虽然也能解，但答案与选项对不上。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材平面向量基本定理

结论推广：一般地，分解用坐标方程组定系数

方法推广：坐标分解列方程组

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2007-陕西文-16 填-平面向量基本定理
• 2013-广东卷文-10 单-向量分解真假命题
• 2014-福建卷理-08 单-平面向量基本定理